Question

如圖所示，xoy平面內，在y軸左側某區域內有一個方向豎直向下，水平寬度為l=2

3

×10-2m，電場強度為E=1.0×10⁴N/C的勻強電場．在y軸右側有一個圓心位于x軸上，半徑為r=0.01m的圓形磁場區域，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度為B=0.01T，坐標為x₀=0.04m處有一垂直于x軸的面積足夠大的熒光屏PQ．今有一束帶正電的粒子從電場左側沿+x方向射入電場，穿過電場時恰好通過坐標原點，速度大小為v=2×10⁶m/s，方向與x軸成30°角斜向下，若粒子的質量為m=1.0×10^-20kg，電量為q=1.0×10^-10C，試求：
（1）粒子射入電場時的坐標位置和初速度；
（2）若圓形磁場可沿x軸移動，圓心O′在x軸上的移動范圍為（0.01m，+∞），由于磁場位置的不同，導致該粒子打在熒光屏上的位置也不同，試求粒子打在熒光屏上的范圍．

Answer 1

分析：（1）粒子沿AB方向進入電場后做類平拋運動，將射出電場的速度進行分解，根據沿電場方向上的速度，結合牛頓第二定律求出運動的時間，從而得出類平拋運動的水平位移和豎直位移，即得出射入電場的坐標．射出速度在垂直于電場方向上的速度等于初速度的大小．
（2）隨著磁場向右移動熒光屏光點位置逐漸下移，當v方向與磁場圓形區域相切，此后，粒子將打在熒光屏的同一位置．根據粒子在勻強磁場中的半徑公式，結合幾何關系求出粒子打在熒光屏上的范圍．

解答：解：（1）粒子沿AB方向進入電場后做類平拋運動，在O點將v沿x、y方向分解得：
v_x=vcos30°．
v_y=vsin30°
根據牛頓第二定律a=

qE

m

=

1×10-10×104

10-20

m/s2=1×1014m/s2．
根據t=

vy

a

=

2×106× 1 2

1×1014

s=1×10-8s．
則x=vxt=2×106×

3

2

×1×10-8m=

3

×10-2m．
y=

vy2

2a

=

(1×106)2

2×1014

m=5×10-3m．
則粒子射入電場時的坐標位置為(-

3

×10-2m，5×10-3m)．
初速度v0=vx=2×106×

3

2

m/s=

3

×106m/s．
（2）洛侖茲力提供向心力，則qvB=m

v2

R

得：R=

mv

qB

=2×10-2m
由幾何關系知此時出射位置為D點，軌跡如圖，熒光屏最高端的縱坐標為：L1=2rtan30°=

2 3

3

r≈1.15m
隨著磁場向右移動熒光屏光點位置逐漸下移，當v方向與磁場圓形區域相切，此后，粒子將打在熒光屏的同一位置．
其最低的縱坐標為：L2=4rtan30°=

4 3

3

r≈2.31m．
答：（1）粒子射入電場時的坐標位置為(-

3

×10-2m，5×10-3m)．初速度為

3

×106m/s．
（2）粒子打在熒光屏上的范圍為[-2.31m，1.15m]．

點評：本題考查粒子在電場中類平拋運動和在磁場中的勻速圓周運動，對學生幾何能力要求較高，能夠找出問題的臨界情況是解決本題的關鍵．