Question

15．如圖所示，上端開口的光滑圓形汽缸豎直放置，截面積為20cm²的活塞將一定質量的氣體封閉在氣缸內．在氣缸內距缸底60cm處沒有卡環ab，使活塞只能向上滑動，開始時活塞擱在ab上，缸內氣體的壓強等于大氣壓強p₀=1.0×10⁵Pa，溫度為27℃，現緩慢加熱氣缸氣體，當溫度緩慢升高為57℃，活塞恰好離開ab，當溫度緩慢升高到90℃時，（g取10m/s²）求：
（i）活塞的質量；
（ii）整個過程中氣體對外界做的功．

Answer 1

分析 （1）以缸內氣體為研究對象，氣體發生等容變化，分析初末狀態的狀態參量，結合活塞的受力平衡求活塞質量；
（2）活塞向上移動過程中，氣體發生等壓變化，根據實驗定律求出末態活塞距缸低的高度，根據$W={p}_{2}^{\;}△V$求氣體對外界做的功；

解答 解（i）活塞剛要離開ab時，對活塞${p}_{2}^{\;}S={p}_{0}^{\;}S+mg$
解得：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=1.0×1{0}_{\;}^{5}+\frac{mg}{20×1{0}_{\;}^{-4}}$
氣體的狀態參量為：
${T}_{1}^{\;}=300K$，${p}_{1}^{\;}=1.0×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
${T}_{2}^{\;}=330K$，${p}_{2}^{\;}=（1.0×1{0}_{\;}^{5}+\frac{mg}{20×1{0}_{\;}^{-4}}）{p}_{a}^{\;}$
因為${V}_{1}^{\;}={V}_{2}^{\;}$，所以$\frac{{p}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{P}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數據解得：m=2kg．
（ii）氣體的狀態參量為：
${T}_{3}^{\;}=273+90=363K$，${p}_{2}^{\;}={p}_{3}^{\;}=（1.0×1{0}_{\;}^{5}+\frac{20}{20×1{0}_{\;}^{-4}}）{p}_{a}^{\;}$=$1.1×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
因為${p}_{2}^{\;}={p}_{3}^{\;}$，所以$\frac{{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{V}_{3}^{\;}}{{T}_{3}^{\;}}$，即：$\frac{{h}_{2}^{\;}S}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{h}_{3}^{\;}S}{{T}_{3}^{\;}}$
代入數據：$\frac{60S}{330}=\frac{{h}_{3}^{\;}S}{363}$
解得：${h}_{3}^{\;}=66cm$，
$W={p}_{2}^{\;}S（{h}_{3}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）=1.1×1{0}_{\;}^{5}×20×1{0}_{\;}^{-4}×（0.66-0.60）$=13.2J
答：（i）活塞的質量m=2kg；
（ii）整個過程中氣體對外界做的功13.2J．

點評 本題考查了氣體的等容和等壓變化，注意應用公式時，溫度為熱力學溫度．難度不大，中檔題．