Question

如圖所示的是“神舟九號”“與天宮一號”軌道交會形式的一種，軌道1為“神舟九號”的橢圓軌道，軌道2為“天宮一號”的圓軌道，兩軌道同平面且在P點相切，對接前二者同向繞行．已知地球半徑為R₀，“天宮一號”的軌道半徑為R，“神舟九號”橢圓軌道的近地點離地面的高度為h，地球表面的重力加速度為g．
（1）求“天宮一號”的運行周期T₂與“神舟九號”的運行周期T₁之比
（2）為了保證“神舟九號“飛船與”天宮一號“恰好在P點相遇，飛船在軌道近地點時與地心的連線跟此時“天宮一號”與地心連線成的夾角φ為多大？

Answer 1

（1）根據幾何關系可知，神舟九號飛船軌道半長軸r=

R+R0+h

2

，根據開普勒第三定律有：

R3

T 22

=k=

r3

T 21

所以有：

T2

T1

=

R3 r3

=

8R3 (R+R0+h)3

（2）由題意知神舟九號運行

T1

2

，在這段時間內，天宮一號轉過的角度為θ=

T1

2

?

2π

T2

，則飛船在近地點時與地心連線跟此時天宮一號與地心連線所夾的角φ=π-θ代入數據得：
φ=π-

T1

2

?

2π

T2

=π(1-

(R+R0+h)3 8R3

)
答：（1）“天宮一號”的運行周期T₂與“神舟九號”的運行周期T₁之比為：

T2

T1

=

8R3 (R+R0+h)3

（2）為了保證“神舟九號“飛船與”天宮一號“恰好在P點相遇，飛船在軌道近地點時與地心的連線跟此時“天宮一號”與地心連線成的夾角φ為：

8R3 (R+R0+h)3