Question

20．萬有引力的發現與證實，讓人類確立了全新的宇宙觀．已知地球的公轉周期、太陽與地球的質量比、月球的公轉周期，則再知道下列物理量就能估算地球公轉半徑的是（　�。�

• A． 月球半徑及月球表面重力加速度
• B． 地球半徑及地球表面重力加速度
• C． 地球附近近地衛星的線速度及萬有引力常量G
• D． 僅用開普勒第三定律及月球的公轉半徑

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，地球公轉半徑$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$，已知了地球的公轉周期，求出太陽質量即可求出地球公轉半徑．

解答 解：A、在月球表面物體的重力等于月球對物體的萬有引力，$m{g}_{月}^{\;}=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{月}^{2}}$，${M}_{月}^{\;}=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}}{G}$；地球圍繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，有
$G\frac{{M}_{太}^{\;}{m}_{地}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{地}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得公轉半徑$r=\root{3}{\frac{G{M}_{太}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$，要求出太陽質量，才能求出公轉半徑，根據條件只能求出月球質量，所以公轉半徑無法求出，故A錯誤；
B、由地球半徑和地球表面的重力加速度，根據$m{g}_{地}^{\;}=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}$，得$G{M}_{地}^{\;}={g}_{地}^{\;}{R}_{地}^{2}$，由于知道太陽與地球質量之比，可以求出$G{M}_{太}^{\;}$，由A得到的公轉半徑表達式$r=\root{3}{\frac{G{M}_{太}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$，可求出公轉半徑，故B正確；
C、未給出地球的半徑，根據萬有引力提供向心力求不出地球的質量，太陽質量無法得出，故地球的公轉半徑求不出，故C錯誤；
D、月球繞地球勻速圓周運動，地球繞太陽勻速圓周運動，不是同一個中心天體，開普勒第三定律不適用，故D錯誤；
故選：B

點評 本題考查萬有引力定律在天文學上的應用，關鍵是理解原理，明確地球的公轉半徑是地球圍繞太陽做勻速圓周運動的半徑，根據萬有引力提供向心力列式，結合已知量進行轉化，關鍵就是求出$G{M}_{太}^{\;}$