Question

兩顆靠得較近的天體容易形成雙星系統．它們在萬有引力的作用下，繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動．由天文觀測所得，某雙星系統中，兩星體中心距離為r，兩星體的質量分別為m₁和m₂．則
（1）兩星體繞共同圓心做勻速圓周運動的軌道半徑之比r₁：r₂為多少？
（2）它們共同的角速度為多少？（引力常量為G）

Answer 1

分析：（1）兩顆恒星都做勻速圓周運動，兩顆恒星之間的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解兩星體繞共同圓心做勻速圓周運動的軌道半徑之比；
（2）兩星體中心距離為r，根據第一問的結論求解出兩個半徑，然后進一步根據萬有引力定律提供向心力列式求解它們共同的角速度．

解答：解：（1）兩顆恒星都做勻速圓周運動，兩顆恒星之間的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
對m₁：G

m1m2

r2

=m1ω2r1        ①
對m₂：G

m1m2

r2

=m2ω2r2        ②
故：m₁r₁=m₂r₂
r₁：r₂=m₂：m₁               ③
（2）由于r₁+r₂=r，結合③式解得：
r₁=

m2r

m1+m2

                 ④
將④式代入①式，解得：
ω=

G(m1+m2) r3

答：（1）兩星體繞共同圓心做勻速圓周運動的軌道半徑之比r₁：r₂為m₂：m₁；
（2）它們共同的角速度為

G(m1+m2) r3

．

點評：本題是雙星問題，與衛星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關鍵抓住條件：角速度相同．