Question

10．如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面內建立xOy坐標系，在第Ⅱ象限內有平行于桌面的勻強電場，場強方向與x軸負方向的夾角θ=45°．在第 III象限垂直于桌面放置兩塊相互平行的平板c₁、c₂，兩板間距為d₁=0.6m，板間有豎直向上的勻強磁場，兩板右端在y軸上，板c₁與x軸重合，在其左端緊貼桌面有一小孔M，小孔M離坐標原點O的距離為L=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x軸放置一塊平行y軸且沿y軸負向足夠長的豎直平板c₃，平板c₃在x軸上垂足為Q，垂足Q與原點O相距d₂=0.18m．現將一帶負電的小球從桌面上的P點以初速度v₀=42m/s垂直于電場方向射出，剛好垂直于x軸穿過c₁板上的M孔，進人磁場區域．已知小球可視為質點，小球的比荷qm=20C/kg，P點與小孔M在垂直于電場方向上的距離為s=210m，不考慮空氣阻力．求：
（1）求M點速度大小？
（2）求勻強電場的場強大小；
（3）要使帶電小球無碰撞地穿出磁場并打到平板c₃上，求磁感應強度的取值范圍．

Answer 1

分析 本題是一個球在光滑絕緣的桌面上先在電場中做類平拋運動，后進入磁場做勻速圓周運動的特例
（1）．M點的速度就是粒子做類平拋運動的末速度，已知平拋的初速度和末速度的方向，由速度的分解很方便的求出．
（2）．根據類平拋運動的位移公式和幾何關系可求得粒子在電場中的加速度，從而求出場強的大小．
（3）．要使小球打在板上，先要考慮B越大，半徑越小，越容易從OQ之間穿出，則要考慮剛好打在Q點的情況；另外若B越小，半徑越大，則有可能打到下板上，所以當B最小時，軌跡與下板相切．

解答 解：（1）小球在第II象限做類平拋運動，由速度的分解可得：
$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}=8m/s$
（2）垂直電場方向的位移：s=v₀t         ①
平行于電場方向的速度關系有：at=v₀tanθ    ②
由牛頓第二定律：qE=ma         ③
聯立上述式解得：$E=8\sqrt{2}V/m$  
（3）小球進入兩板間做勻速圓周運動，軌跡如圖：

由洛侖茲力提供向心力有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{mv}{qR}$
小球剛好能打到Q點時，磁感應強度最大設為B₁．此時小球的軌跡半徑為R₁，由兩個直角三角形相似的幾何關系有：
$\frac{{R}_{1}}{L+p9vv5xb5_{2}-{R}_{1}}=\frac{L-{R}_{1}}{{R}_{1}}$
解得：
R₁=0.4m
B₁=1T 
小球剛好不與c₂板相碰時，磁感應強度最大設為B₂．此時小球的軌跡半徑為R₂，由幾何關系有：
R₁=d₁
解得：${B}_{2}=\frac{2}{3}T$
故：磁感應強度的取值范圍：
$\frac{2}{3}T≤B≤1T$
答：（1）M點速度大小8m/s．
（2）勻強電場的場強大小$8\sqrt{2}V/m$．
（3）要使帶電小球無碰撞地穿出磁場并打到平板c₃上，磁感應強度的取值范圍為$\frac{2}{3}T≤B≤1T$．

點評 第①②小題還屬于類平拋與圓周運動的綜合，結合牛頓運動定律不難解出，本題的難點在于第③問B的最大值，剛好打在Q點時，這有兩個相似的直角三角形，根據相似關系求出最小的半徑（對應B的最大值）．