Question

11．一人拉著行李箱（可視為質點）停在傾角為37°的斜面上接電話，某時刻突然松手，行李箱沿斜面向下運動，如圖所示．松手時行李箱距離斜面底端4.5m．水平面上距離斜面底端s=7m處有一壕溝，設行李箱與斜面和水平面間的動摩擦因數均為0.25，且從斜面運動到水平面時速度大小不變，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，則：
（1）通過計算說明，行李箱是否能滑入壕溝？
（2）人在行李箱運動0.5s后，立即勻速率追趕行李箱．若行李箱不能滑入壕溝，求人在行李箱停下前追上行李箱的最小速率；若行李箱能滑入壕溝，求人在行李箱滑入壕溝前追上行李箱的最小速率．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出行李箱在水平面上滑行的最大距離，即可判斷是否能滑入壕溝．
（2）根據追上時路程相等，運用運動學位移公式列式求解．

解答 解：（1）設行李箱在水平面上滑行的最大距離為L．已知松手時行李箱距離斜面底端的距離 s₁=4.5m
根據動能定理得：
   mgs₁sin37°-μmgcos37°•s₁-μmgL=0
解得 L=7.2m＞s=7m，所以行李箱能滑入壕溝
（2）根據牛頓第二定律得，行李箱下滑的加速度${a}_{1}=\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=6-0.25×8m/s²=4m/s²，
行李箱到達底端的速度${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}{s}_{1}}=\sqrt{2×4×4.5}$m/s=6m/s，在斜面上運動的時間${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{6}{4}s=1.5s$，
行李箱在水平面上的加速度大小${a}_{2}=μg=0.25×10m/{s}^{2}=2.5m/{s}^{2}$，
行李箱運動到壕溝處的速度${v}_{2}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}-2{a}_{2}s}=\sqrt{36-2×2.5×7}$m/s=1m/s，
則在水平面上運動的時間${t}_{2}=\frac{{{v}_{1}-v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{6-1}{2.5}s=2s$，
可知人的最小速率v=$\frac{{s}_{1}+s}{{t}_{1}+{t}_{2}-0.5}=\frac{4.5+7}{1.5+2-0.5}m/s$=3.83m/s．
答：（1）行李箱能滑入壕溝；
（2）人在行李箱滑入壕溝前追上行李箱的最小速率為3.83m/s．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和運動學公式的綜合運用，對于第二問，關鍵抓住路程關系，結合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解．