Question

如圖所示，由于街道上的圓形污水井蓋破損，臨時更換了一個稍大于井口的紅色圓形平板塑料蓋．為了測試因塑料蓋意外移動致使蓋上的物塊滑落入污水井中的可能性，有人先后分別做了下面的實驗．
甲實驗：將一個可視為質點、質量為m的硬橡膠塊置于塑料蓋的圓心處，給塑料蓋一個沿徑向的瞬間水平沖量，使之獲得一個水平向右的初速度．實驗結果是硬橡膠塊恰好與塑料蓋分離．
乙實驗：完成甲實驗后，將塑料蓋放回原處，仍將該硬橡膠塊置于塑料蓋的圓心處，然后用一水平向右的恒定拉力拉動塑料蓋．
設硬橡膠塊與塑料蓋間的動摩擦因數為μ，塑料蓋的質量為M、半徑為R，假設塑料蓋與地面之間的摩擦可忽略，井口的半徑也約為R，且不計塑料蓋的厚度．
（1）甲實驗中，根據實驗結果求：
①塑料蓋的初速度大小為多少？
②硬橡膠塊經過多少時間脫離塑料蓋？
③通過計算說明硬橡膠塊是落入井內還是落在地面上？
（2）在乙實驗中，拉力F在什么范圍內，才可以使硬橡膠塊落入井內？

Answer 1

分析：（1）硬橡膠塊與塑料蓋恰好分離時，兩者的共同速度為v，由系統動量守恒定律和系統能量關系求解．
對硬橡膠塊用動量定理求解經過多少時間脫離塑料蓋，取硬橡膠塊分析，應用動能定理求解硬橡膠塊是落入井內還是落在地面上．
（2）取硬橡膠塊分析，應用牛頓第二定律和運動學公式求解分析．

解答：解：（1）①設塑料蓋的初速度為v₀，硬橡膠塊與塑料蓋恰好分離時，兩者的共同速度為v，由系統動量守恒定律得：Mv₀=（m+M）v
       由系統能量關系可得：μmgR=

1

2

Mv

2 0

-

1

2

（M+m）v²
       解得  v₀=

2(m+M)μgR M

       ②對硬橡膠塊用動量定理：μmgt=mv 
    t=

2MR (M+m)μg

     
       ③設硬橡膠塊與塑料蓋恰好分離時，硬橡膠塊移動的位移為x，
       取硬橡膠塊分析，應用動能定理得：μmgx=

1

2

mv²
       可得：x=

MR

M+m

      所以x＜R，故硬橡膠塊將落人污水井內
（2）能落入井內說明二者必然有相對滑動，其間的摩擦力為滑動摩擦力，所以：
       塑料蓋的加速度a₁=

F-μmg

M

，
橡膠塊的加速度a₂=

μmg

m

=μg
       設橡膠塊經t₁時間脫離塑料蓋，則由位移關系得：

1 2 a1t

2 1

-

1 2 a2t

2 1

=R
       又要求橡膠塊落入井內，必有

1 2 a2t

2 1

＜R
       解得：F＞μmg+2μMg
答：（1）①塑料蓋的初速度大小為

2(m+M)μgR M

②硬橡膠塊經過

2MR (M+m)μg

時間脫離塑料蓋
③硬橡膠塊將落人污水井內
（2）在乙實驗中，F＞μmg+2μMg，才可以使硬橡膠塊落入井內．

點評：正確應用牛頓運動定律和功能關系列方程是解決這類問題的關鍵，尤其是弄清相互作用過程中的功能關系．