Question

如圖所示，由于街道上的圓形污水井蓋破損，臨時更換了一個稍大于井口的紅色圓形平板塑料蓋．為了測試因塑料蓋意外移動致使蓋上的物塊滑落入污水井中的可能性，有人做了一個實驗：將一個可視為質點、質量為m的硬橡膠塊置于塑料蓋的圓心處，給塑料蓋一個沿徑向的水平向右的初速度v₀，實驗的結果是硬橡膠塊恰好與塑料蓋分離．設硬橡膠塊與塑料蓋間的動摩擦因數為μ，塑料蓋的質量為2m、半徑為R，假設塑料蓋與地面之間的摩擦可忽略，且不計塑料蓋的厚度．
（1）求硬橡膠塊與塑料蓋剛好分離時的速度大小為多少？
（2）通過計算說明實驗中的硬橡膠塊是落入井內還是落在地面上．

Answer 1

分析：（1）硬橡膠塊與塑料蓋之間的摩擦力使硬橡膠塊加速運動，使其速度逐漸增大，使塑料蓋減速運動，使其速度逐漸減小．恰好分離就表示速度剛相等時就分離．
（2）取硬橡膠塊分析，應用動能定理和由系統能量關系可求得硬橡膠塊移動的位移．

解答：解：（1）設硬橡膠塊與塑料蓋恰好分離時，兩者的共同速度為v，從開始滑動到分離經歷時間為t，
在此期間硬橡膠塊與塑料蓋的加速度大小分別為a₁、a₂，
由牛頓第二定律得：
μmg=ma₁        ①
μmg=2ma₂       ②
v=a₁t=v₀-a₂t   ③
由以上各式得    v=

2

3

v₀   ④
（2）設硬橡膠塊與塑料蓋恰好分離時，硬橡膠塊移動的位移為x，
取硬橡膠塊分析，應用動能定理得   μmgx=

1

2

mv²           ⑤
由系統能量關系可得
    μmgR=

1

2

M

v

2 0

-

1

2

（M+m）v²   ⑥
由④⑤⑥式可得    x=

2

3

R         
因   x＜R，故硬橡膠塊將落入污水井內 
答：（1）求硬橡膠塊與塑料蓋剛好分離時的速度大小為 

2

3

v₀ 
（2）實驗中的硬橡膠塊將落入污水井內．

點評：正確應用牛頓運動定律和功能關系列方程是解決這類問題的關鍵，尤其是弄清相互作用過程中的功能關系．