Question

如圖所示，在光滑絕緣水平面上固定著-根光滑絕緣的圓形水平渭槽，其圓心在O點．過O點的-條直徑上的A、B兩點固定著兩個點電荷．其中固定于A點的為正電荷，電荷量大小為Q；固定于B點的是未知電荷．在它們形成的電場中，有-個可視為質點的質量為m、電荷量大小為q的帶電小球正在滑槽中運動，小球的速度方向平行于水平面，若已知小球在C點處恰好與滑槽內、外壁均無擠壓且無沿切線方向的加速度，AB間的距離為L，∠ABC=∠ACB=30°，CO⊥OB，靜電力常量為k，
（1）作出小球在水平面上受力，并確定固定在B點的電荷及小球的帶電性質：
（2）求B點電荷的電荷量大小；
（3）已知點電荷的電勢計算式為：φ=kQ/r，式中Q為場源電荷的電荷量，r為該點到場源電荷的距離．試利用此式證明小球在滑槽內做的是勻速圓周運動．

Answer 1

分析：（1）小球做圓周運動，必須有向心力，根據小球在C點處恰好與滑槽內、外壁均無擠壓且無沿切線方向的加速度可知，小球在C點的合力方向一定沿CO且指向O點，作出力圖，即可判斷出小球帶負電，B帶負電．若小球帶正電，B帶負電，小球在C點受到A的排斥力，受到B的吸引力，根據平行邊形定則可知，兩者的合力方向不可能沿CO且指向O點，所以小球帶正電，B帶負電是不可能的．
（2）根據小球在C點無切向加速度，切線方向力平衡，根據庫侖定律列式求得B的電荷量．
（3）以O為原點，OB為x軸正方向，OC為y軸正方向，研究槽上某點[坐標為（x，y）]的電勢，分析得到其電勢能不變，即可得到動能不變．

解答：解：（1）由小球在C點處恰好與滑槽內、外壁均無擠壓且無沿切線方向的加速度，可知小球在C點的合力方向一定沿CO且指向O點，所以A處電荷對小球吸引，B處電荷對小球排斥，因為A處電荷為正，所以小球帶負電，B帶負電，如圖所示．
若小球帶正電，B帶負電，小球在C點受到A的排斥力，受到B的吸引力，根據平行邊形定則可知，兩者的合力方向不可能沿CO且指向O點，所以小球帶正電，B帶負電是不可能的．
（2）因為∠ABC=∠ACB=30°，CO⊥OB，由幾何關系得：BC=2ABcos30°=

3

L
由于無切向加速度，小球沿切線方向的合力為零，則有
   k

Qq

L2

cos60°=k

QBq

( 3 L)2

cos30°
解得 Q_B=

3

Q
（3）以O為原點，OB為x軸正方向，OC為y軸正方向，槽上某點的坐標為（x，y），則該點的電勢為
  φ=

kQ

y2+( L 2 -x)2

-

k 3 Q

y2+( 3 2 L-x)2

而x2+y2=

3

4

L2
代入上式解得，φ=0
說明圓周上各點電勢相等，小球在運動過程中電勢能不變，根據能量守恒得知，小球的動能不變，小球做勻速圓周運動．得證．
答：
（1）作出小球在水平面上受力如圖，小球帶負電，B帶負電：
（2）B點電荷的電荷量大小為

3

Q；
（3）證明見上．

點評：本題的突破口是“小球在C點處恰好與滑槽內、外壁均無擠壓且無沿切線方向的加速度”，分析小球的受力情況，確定出向心力，判斷小球與B的電性．