Question

18．（1）開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一個對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式．已知引力常量為G，太陽的質量為M_太．
（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統（如地月系統）都成立．經測定月地距離為3.84×10⁸ m，月球繞地球運動的周期為2.36×10⁶ s，試計算地球的質量M_地．（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，結果保留一位有效數字）

Answer 1

分析 （1）行星繞太陽的運動按圓周運動處理時，此時軌道是圓，就沒有半長軸了，此時$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k應改為$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$，再由萬有引力作為向心力列出方程可以求得常量k的表達式；
（2）根據（1）中得到的關系式，帶入數據即可求得地球的質量．

解答 解：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r．根據萬有引力定律和牛頓第二定律有
    G$\frac{{m}_{行}{M}_{太}}{{r}^{2}}$=m_行${（\frac{2π}{T}）}^{2}$r                ①
于是有       $\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太                    ②
即          k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太                         ③
（2）在月地系統中，設月球繞地球運動的軌道半徑為R，周期為T，由②式可得
          $\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_地            ④
代入數據解得      M_地=6×10²⁴kg                         ⑤
答：（1）太陽系中該常量k的表達式為 k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太；
（2）地球的質量為6×10²⁴kg．

點評 本題就是考察學生對開普勒行星運動第三定律的理解和應用，掌握住開普勒行星運動第三定律和萬有引力定律即可求得結果，式中的常量k必須是相對于同一個中心天體來說的．