Question

如圖所示，將質量M=1.20kg的小沙箱，用輕質軟繩（不可伸長）懸掛起來，開始處于靜止狀態，繩的長度l=0.80m．用槍向沙箱發射質量m=0.05kg的子彈，子彈以v₀=100m/s 的速度向右水平擊中小沙箱，并留在小砂箱中，小沙箱在豎直平面內向上擺動．假設沙箱每次向左運動到最低點時就恰好有一顆同樣速度的子彈射入沙箱，子彈射入沙箱的過程經歷時間極短，可忽略不計，重力加速度g=10m/s²，不計空氣阻力．
（1）求第一顆子彈射入沙箱的過程中子彈對砂箱的沖量大小；
（2）求第一顆子彈射入沙箱并相對沙箱靜止的瞬間，求砂箱對繩的拉力的大小；
（3）求第一顆子彈射入沙箱后，砂箱擺動的最大高度；
（4）要使沙箱擺動的最大角度小于60°，射入沙箱的子彈數目至少為多少？

Answer 1

分析：（1）子彈射入砂箱的過程中，兩者組成的系統動量守恒，由動量守恒定律可以求出子彈射入砂箱后瞬間的共同速度，再對砂箱，運用動量定理求解子彈對砂箱的沖量大小；
（2）以砂箱和子彈整體為研究對象，由牛頓第二定律和向心力公式結合求解即可．
（3）第一顆子彈擊中砂箱后，砂箱向上擺動到最大高度的過程中，由機械能守恒定律求解最大高度．
（4）子彈射入砂柞的過程中，系統動量守恒，運用歸納法，由動量守恒定律可以求出n顆鋼珠射入砂箱后，砂箱的速度；砂擺要回到釋放時的高度，結合機械能守恒求出n．

解答：解：（1）設第一顆子彈擊中砂箱后，砂箱的速度為v₁，由動量守恒定律：
mv₀=（m+M）v₁
解得：v₁=

m

m+M

v0=4 m/s     
對砂箱用動量定理得：I=Mv₁-0=4.8 N?s    
（2）以砂箱和子彈整體為研究對象，設繩的拉力為F，由牛頓第二定律和向心力公式：
  F-（m+M）g=（m+M）

v 2 1

l

解得：F=（m+M）（

v 2 1

l

+g）=37.5 N    
（3）設第一顆子彈擊中砂箱后，砂箱擺動的最大高度為h，由機械能守恒定律：
（m+M）gh=

1

2

(M+m)

v

2 1

解得：h=0.8 m   
（4）設第二顆子彈擊中砂箱后，砂箱的速度為v₂：
   mv₀-（m+M）v₁=（2m+M）v₂，得v₂=0     
設第三顆子彈擊中砂箱后，砂箱的速度為v₃：
mv₀=（3m+M）v₃，得v₃=

m

3m+M

v0
所以子彈擊中砂箱后砂箱的速度為：
  v_n=0   （n為偶數）  v_n=

m

nm+M

v0 （n為奇數）  
設第n顆子彈擊中砂箱后，砂箱擺動的最大角度為α=60°：

1

2

(nm+M)

v

2 n

=（nm+M）gl（1-cos60°）
解得：n=11.4   所以射入沙箱的子彈數目最少為13顆．  
答：
（1）第一顆子彈射入沙箱的過程中子彈對砂箱的沖量大小是4.8 N?s；
（2）第一顆子彈射入沙箱并相對沙箱靜止的瞬間，砂箱對繩的拉力的大小為37.5 N；
（3）第一顆子彈射入沙箱后，砂箱擺動的最大高度是0.8m；
（4）要使沙箱擺動的最大角度小于60°，射入沙箱的子彈數目至少為13．

點評：動量是矢量，動量守恒定律方程是矢量方程，在應用動量守恒定律解題時，要注意正方向的選擇．關鍵要運用歸納法分析規律進行求解第4題．