Question

如圖（a）所示，平行金屬板A和B間的距離為d，左側有一半徑為R的圓形勻強磁場區域，磁場中心與兩金屬板的中心線在一條直線上．在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時A板比B板的電勢高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀．現有由質量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，沿與水平成60°方向正對磁場圓心，以速度v₀=

3 qU0T

3dm

 射入，帶電粒子恰好水平射出磁場區，并進入電場．所有粒子在AB間電場區的飛行時間均為T．（不計重力影響）．求：
（1）磁感應強度．
（2）t=0時刻進入電場的粒子，飛出電場時的速度大小和方向．
（3）粒子飛出電場時的位置離O′點的距離范圍．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力充當向心力，根據幾何知識求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律求出磁感應強度；
（2）t=0時刻進入電場的粒子，在三個

T

3

時間內都做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻變速直線運動，根據對稱性可知，在t=

2

3

T時刻粒子的速度與射入電場時相同．根據牛頓第二定律求得粒子的加速度，由速度公式求出粒子沿電場線方向的速度大小，根據速度的合成求得飛出電場時的速度大小和方向．
（3）根據運動的對稱性可知，在t=

T

3

+nT時刻進入電場，向上側移最大；在t=

2

3

T+nT時刻進入電場，向下側移最大；根據位移公式求出側移，即可粒子飛出電場時的位置離O′點的距離范圍．

解答：解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由題意分析可知粒子速度的偏向角為60°，由幾何知識得：半徑為r=Rtan60°
根據：qv₀B=m

v 2 0

r

得：B=

mv0

qr

又：v₀=

3 qU0T

3dm

，聯立解得：B=

U0T

3dR

（2）粒子在電場中的加速度為：a=

qU0

dm

打出電場的粒子都是相同的，在沿電場線方向的速度大小為
   v_y=a?

T

3

=

qU0T

3dm

則v=

v 2 0 + v 2 y

=

2U0qT

3dm

設速度方向與v₀的夾角為θ，則tanθ=

vy

v0

=

1

3

∴θ=30°
（3）當粒子在t=

T

3

+nT時刻進入電場，向上側移最大，則：
y₁=

1

2

a(

T

3

)2=

qU0T2

18dm

在t=

2

3

T+nT時刻進入電場，向下側移最大，則：
y₂=

1

2

a(

2T

3

)2+a（

2T

3

）?

T

3

-

1

2

a(

T

3

)2=

7qU0T2

18dm

所以粒子飛出電場時的位置離O′點范圍為：距離O′上方

qU0T2

18dm

至距離O′下方

7qU0T2

18dm

之間．
答：
（1）磁感應強度是

U0T

2dR

．
（2）t=0時刻進入電場的粒子，飛出電場時的速度大小是

2U0qT

3dm

，速度方向與v₀的夾角為30°．
（3）粒子飛出電場時的位置離O′點的距離范圍距離O′上方

qU0T2

18dm

至距離O′下方

7qU0T2

18dm

之間．

點評：本題的解題關鍵是磁場中運用幾何知識求出半徑；在電場中運用運動的分解法，研究類平拋運動，抓住對稱性分析．