Question

4．如圖甲為湖邊一傾角為α=30°的大壩橫截面示意圖，水面與大壩的交點為O．一人在A點以一定的初速度沿水平方向扔一小石子，已知AO長L=40m，不計空氣阻力，小石子的質量為m=20g，g取10m/s²，取水面為參考平面．

（1）若石子直接落入水中，求石子落到水面上時的重力勢能大小；
（2）若石子以速度v_o=20m/s被扔出后能直接落到水面上，試求此過程中水平位移的大小．
（3）若石子拋出后直接落到大壩AO上，試在圖乙坐標中定量畫出石子落到斜坡時的動能E_k隨空中運動時間t²的線性關系圖象．

Answer 1

分析 （1）根據重力勢能的定義可求得重力勢能的大��；
（2）對平拋運動過程分析，根據平拋運動的規律可求得水平位移大小．
（3）根據平拋運動規律以及結論進行分析，求出末速度的表達式，再根據動能表達式即可求得動能與時間平方間的關系，從而作出對應的圖象．

解答 解：（1）石子落到水面時重力勢能的大小E_P=mgLsin30°①
代入數據得E_P=4J                                   ②
（2）石子從A到水面上過程中，由平拋運動規律有
豎直方向：L sin 30°=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向上：x=v₀t   ③
聯立得x=40m                                     ④
（3）石子拋出后經時間t后落到大壩AO某處時，豎直方向的速度為V_y=gt
設此時實際速度v的方向與水平方向夾角設為β，則
由tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$
tanβ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
知tanβ=2tanα，即V₀=$\frac{{v}_{y}}{2tanα}$⑤
石子落到斜坡時動能E_K=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$m（v_x²+v_y²）聯立并代入數據得
Ek=$\frac{7{t}^{2}}{4}$       （0＜t≤2s）⑥
正確作出圖象  如圖所示；
答：（1）若石子直接落入水中，求石子落到水面上時的重力勢能大小為4J；
（2）此過程中水平位移的大小為40m；
（3）若石子拋出后直接落到大壩AO上，石子落到斜坡時的動能E_k隨空中運動時間t²的線性關系圖象．

點評 本題考查機械能守恒定律以及平拋運動規律的應用，要注意正確分析物理過程，明確平拋運動的規律應用，同時注意速度夾角和位移夾角正切值之間的關系的應用．