Question

一傳送帶裝置示意如圖所示，其中傳送帶經過ＡＢ區域時是水平的，經過ＢＣ區域時變為圓弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫出），經過ＣＤ區域時是傾斜的，ＡＢ和ＣＤ都與ＢＣ相切. 現將大量的質量均為ｍ的小貨箱一個一個在Ａ處放到傳送帶上，放置時初速度為零，經傳送帶運送到Ｄ處，Ｄ和Ａ的高度差為ｈ. 穩定工作時傳送帶速度不變，ＣＤ段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為Ｌ . 每個箱子在Ａ處投放后，在到達Ｂ之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經ＢＣ段時的微小滑動）. 已知在一段相當長的時間Ｔ內，共運送小貨箱的數目為Ｎ . 這種裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦，求電動機的平均輸出功率Ｐ

Answer 1

解析:

以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為ｖ₀，在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下作初速度為零的勻加速運動，設這段路程為S，所用時間為ｔ，加速度為ａ，則對小貨箱有①，ｖ₀＝ａｔ②，在這段時間內，傳送帶運動的路程為S₀＝ｖ₀ｔ③，由①②③式可得S₀＝2S④，用ｆ表示小貨箱與傳送帶之間的摩擦力，則傳送帶對小貨箱做功為Ｗ＝ｆｓ＝⑤，傳送帶克服小貨箱對它的摩擦力做功為Ｗ₀＝ｆS₀＝2×＝ｍｖ₀²⑥，兩者之差就是克服摩擦力做功產生的熱量Ｑ＝ｍｖ₀²⑦.

    可見，在小貨箱加速運動過程中，小貨箱獲得的動能與發熱量相等．Ｔ時間內電動機輸出的功為Ｗ＝ＰＴ⑧，此功用于增加小貨箱的動能、勢能以及克服摩擦力發熱，即Ｗ＝Ｎｍｖ₀²＋Ｎｍｇｈ＋ＮＱ⑨，已知相鄰兩小貨箱的距離為Ｌ，所以由題意可知ｖ₀Ｔ＝ＮＬ⑩，聯立⑦～⑩得