Question

（2013?南開區二模）2007年10月24日，我國成功地發射了“嫦娥一號”探月衛星．衛星進入地球軌道后還需要對衛星進行10次點火控制．前4次點火，讓衛星不斷變軌加速，當衛星加速到v_o=11.0km/s的速度時進入地月轉移軌道向月球飛去．后6次點火的主要作用是修正飛行方向和被月球捕獲時的緊急剎車，最終把衛星送入離月面h=200km高的工作軌道（可視為勻速圓周運動）．已知地球質量是月球質量的81倍，R_月=1800km，R_地=6400km，衛星質量為2350kg，地球表面重力加速度g=10m/s²，引力恒量G=6.67×10^-11N?m²/kg²．（結果保留一位有效數字）求：
（1）地球的質量．
（2）衛星從離開地球軌道進入地月轉移軌道最終穩定在離月球表面h=200km的工作軌道上外力對它做了多少功？（忽略地球自轉及月球繞地球公轉的影響）

Answer 1

分析：1、根據地球表面的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R地2

=mg，代入數據可計算出地球的質量．
2、先根據萬有引力提供向心力G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

(R月+h)

，計算出衛星的線速度，再根據動能定理W=

1

2

mv2-

1

2

mv02，計算地球對它做的功．

解答：解：（1）由地球表面的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R地2

=mg
可得M=

R地2g

G

=

(6400×103)2×10

6.67×10-11

kg=6×10²⁴kg
（2）設衛星離月面200km速度為v，由牛頓第二定律得：
G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

(R月+h)

及

M月

M地

=

1

81

解得v=

GM月 R月+h

=

GM地 81(R月+h)

對衛星由動能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02
綜合以上各式，解得W=

1

2

m

GM地

81(R月+h)

-

1

2

mv02=

1

2

×2350×

6.67×10-11×6×1024

81×(1800+200)×103

-

1

2

×2350×11²=-1×10¹¹J
答：（1）地球的質量為6×10²⁴kg．
（2）衛星從離開地球軌道進入地月轉移軌道最終穩定在離月球表面h=200km的工作軌道上外力對它做了-1×10¹¹J的功．

點評：地球表面的物體受到的重力等于萬有引力；萬有引力提供向心力，這兩個關系對于解決天體問題非常重要．