Question

如圖所示，兩根相同的勁度系數為后的金屬輕彈簧用兩根等長的絕緣線懸掛在水平天花板上，彈簧的上端通過導線與阻值為R的電阻相連，彈簧的下端接一質量為m、長度為L、電阻為r的金屬棒，金屬棒始終處于寬度為d的垂直紙面向里磁感應強度為B的勻強磁場中．開始時彈簧處于原長，金屬棒從靜止釋放，其下降高度為h時達到了最大速度．已知彈簧始終在彈性限度內，且當彈簧的形變量為x時，它的彈性勢能為

1

2

kx²，不計空氣阻力和其他電阻，求：
（1）金屬棒的最大速度；
（2）此過程中R消耗的電能．

Answer 1

分析：（1）金屬棒速度最大時，彈簧的彈力、安培力和重力三力平衡，推導出安培力，由平衡條件列式求最大速度．
（2）此過程中，金屬棒的重力勢能轉化為棒的動能、彈簧的彈性勢能和電路中電能，根據能量守恒定律和電路的串聯特點求電能．

解答：解：（1）金屬棒速度最大時，受到重力、彈簧的彈力和安培力，三力平衡．則有
    mg=F_安+2kh  ①
安培力F_安=BIL，I=

BLvm

R+r

，則得F_安=

B2L2vm

R+r

  ②
由①②得：mg=

B2L2vm

R+r

+2kh  ③
解得：最大速度v_m=

(mg-2kh)(R+r)

B2L2

 ④
（2）設此過程中電路中產生的總電能為Q，則根據能量守恒得
   mgh=2×

1

2

kh2+

1

2

m

v

2 m

+Q  ⑤
解得Q=mgh-kh²-

m(mg-2kh)2(R+r)2

2B4L4

電阻R與金屬棒r串聯，電流相等，則R消耗的電能Q_R=

R

R+r

Q=

R

R+r

[mgh-kh²-

m(mg-2kh)2(R+r)2

2B4L4

]
答：
（1）金屬棒的最大速度為

(mg-2kh)(R+r)

B2L2

．
（2）此過程中R消耗的電能是

R

R+r

[mgh-kh²-

m(mg-2kh)2(R+r)2

2B4L4

]．

點評：本題計算安培力、分析能量如何轉化是解題關鍵的兩個關鍵，還要有基本的學習能力，知道彈簧的彈性勢能為

1

2

kx²．