Question

7．如圖所示，質量為M=0.1kg、半徑為R=1.0m的質量分布均勻的圓環靜止在粗糙的水平桌面上，一質量為m=0.2kg的光滑小球以水平速度v₀=6.0m/s通過環上的小孔正對環心射入環內，與環發生第一次碰撞后到第二次碰撞前小球恰好不會從小孔中穿出．假設小球與環內壁的碰撞為彈性碰撞，只考慮圓環與桌面之間的摩擦，且粗糙程度各處相同．求：
①第一次碰撞后圓環的速度；
②第二次碰撞前圓環的位移；
③圓環通過的總位移．

Answer 1

分析 ①小球與環內壁發生彈性碰撞，遵守動量守恒和機械能守恒，由動量守恒定律和機械能守恒定律結合解答．
②小球恰好不會從小孔穿出，則第一次碰撞后，環做勻減速直線運動，設經t時間與小球速度大小相等，由動量定理列式求出摩擦力．假設環在第二次碰撞前已停止，其位移由動能定理求得．根據小球的運動規律求出小球的位移，即可判斷假設是否正確．
③多次碰撞后小球和環最終靜止，系統的動能全部轉化為摩擦生熱，由此列式求解圓環通過的總位移．

解答 解：①設第一次剛碰撞完，小球和環各自的速度大小分別為v₁和v₂，取向左為正方向，根據動量守恒定律和機械能守恒定律，有：
    mv₀=mv₁+Mv₂
    $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²
解得：v₁=2m/s，v₂=8m/s．
②第一次碰撞后經過時間t，小球恰好未從小孔中穿出，即二者共速，均為v₁，由運動學規律：
   $\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t$-v₁t=2R
對圓環，由動量定理：
-ft=Mv₁-Mv₂；
聯立解得：f=0.9N
假設環在第二次碰撞前已停止，其位移由動能定理得：
-fx₂=0-$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
解得 x₂=$\frac{32}{9}$m
此時小球的位移，由運動學規律：
  x₁=v₁•t′
設對圓環速度從v₂減至0的時間為t′，由動量定理得：：
-ft′=0-Mv₂；
聯立得 x₁=v₁•$\frac{M{v}_{2}}{f}$=2×$\frac{0.1×8}{0.9}$=$\frac{16}{9}$m＜$\frac{32}{9}$m
假設成立，所以在第二次碰撞前環的位移為 x₂=$\frac{32}{9}$m
③多次碰撞后小球和環最終靜止，設圓滑受到的摩擦力為f，通過的總位移為x，系統的動能全部轉化為摩擦生熱：
    fx=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯立解得，圓環通過的總位移為：x=4m．
答：
①第一次碰撞后圓環的速度是8.0m/s．
②第二次碰撞前圓環的位移是$\frac{32}{9}$m．
③圓環通過的總位移是4m．

點評 本題的關鍵要分析清楚物體的運動過程，應用動量守恒定律、機械能守恒定律、運動學公式、動量定理即可正確解題．涉及時間時可優先考慮動量定理．涉及位移時可優先考慮動能定理．