Question

游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來，如圖甲所示．我們把這種情況抽象為如圖乙所示的模型：半徑為R的圓弧軌道豎直放置，下端與弧形軌道相接，使質量為m的小球從弧形軌道上端無初速度滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動．實驗表明，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點．（不考慮空氣及摩擦阻力）
（1）若小球恰能通過最高點，則小球在最高點的速度為多大？此時對應的h多高？
（2）若h′=4R，則小球在通過圓軌道的最高點時對軌道的壓力是多少？

Answer 1

分析：（1）小球恰能通過最高點，那么小球在最高點時應該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，再由機械能守恒可以求得離地面的高度h．
（2）小球由靜止運動到最高點的過程中，由機械能守恒定律求得最高點的速度，由牛頓運動定律求解小球在通過圓軌道的最高點時對軌道的壓力．

解答：解：（1）小球恰能通過最高點，即小球通過最高點時恰好不受軌道的壓力，重力提供向心力．由牛頓運動定律有：
mg=

mv2

R

小球在最高點處的速度至少為：v=

gR

                                                       
小球由靜止運動到最高點的過程中，只有重力做功．由機械能守恒定律得：
mgh=

1

2

mv²+mg?2R
聯立解得：h=2.5R．
（2）h′=4R時，小球由靜止運動到最高點的過程中，由機械能守恒定律有：
mgh′=

1

2

mv′²+mg?2R
小球在最高點，在重力和軌道的壓力作用下做圓周運動．由牛頓運動定律有：
N+mg=

mv′2

R

                                                   
聯立解得：N=3mg．
根據牛頓第三定律得：小球在通過圓軌道的最高點時對軌道的壓力是3mg．
答：（1）若小球恰能通過最高點，則小球在最高點的速度為

gR

，此時對應的h是2.5R．
（2）若h′=4R，則小球在通過圓軌道的最高點時對軌道的壓力是3mg．

點評：本題屬于圓周運動中繩的模型，在最高點時應該是重力恰好做為圓周運動的向心力，對于圓周運動中的兩種模型一定要牢牢的掌握住．