Question

如圖所示，一個帶有圓弧的粗糙滑板A的總質量m_A＝3 kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長L＝3.75 m．開始時，A靜止在光滑水平面上．現有一質量m_B＝2 kg 的小木塊B從滑塊A的右端以水平初速度v₀＝5 m/s 滑上A，小木塊B與滑板A之間的動摩擦因數μ＝0.15，小木塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長后返回，最終停止在滑板A上．

(1)求A、B相對靜止時的速度大小．

(2)若B最終停在A的水平部分上的R點，P、R相距 1 m，求B在圓弧上運動的過程中因摩擦而產生的內能．

(3)若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外其他條件不變，討論小木塊B在整個運動過程中，是否有可能在某段時間里相對地面向右運動？如不可能，說明理由；如可能，試求出B既向右滑動，又不滑離木板A的v₀取值范圍．(取g＝10 m/s²，結果可以保留根號)

Answer 1

解：

(1)根據動量守恒得：解得：v＝v₀＝2 m/s． ……②　1分

(2)設B在A的圓弧部分產生的熱量為Q₁，在A的水平部分產生的熱量為Q₂．由功能關系有：

m_Bv₀²＝(m_B＋m_A)v²＋Q₁＋Q₂　 ………………③ 2分

又Q₂＝μm_Bg(L_QP＋L_PR)　…………………④　 2分

聯立②③④解得：Q₁＝0.75 J　 ………………⑤　 1分

(3)當B滑上圓弧再返回至P點時最有可能速度向右，設木塊滑至P點的速度為v_B，此時A的速度為v_A，由動量守恒和功能關系得：

m_Bv₀＝m_Bv_B＋m_Av_A　…………………………⑥　 2分

m_Bv₀²＝m_Bv_B²＋m_Av_A²＋μm_BgL　………………⑦　 2分

聯立⑥⑦代入數據得：v_B²－0.8v₀v_B＋6.75－0.2v₀²＝0 …⑧　 1分

當v_B的兩個解一正一負時，表示B從圓弧滑下的速度向右．即需：v₀＞4.3 m/s，故B有可能相對地面向右運動． …………⑨　 1分

若要B最終不滑離A，有：μm_Bg·2L≥m_Bv₀²－(m_B＋m_A)(v₀)²　…⑩ 2分

得：v₀≤6.1 m/s　 ……………… 1分

故v₀的取值范圍為：4.3 m/s＜v₀≤6.1 m/s． ……　 1分