Question

如圖所示是一個豎直平面內的由傾斜直線、半徑R=50cm圓弧和豎直直線三部分組成的帶有凹槽的光滑軌道，且軌道的圓弧部分與傾斜部分恰好相切連接，傾斜軌道與水平面的夾角為45°．兩個質量均為m=2kg的小環套在光滑軌道上，小環之間用不計質量且不可拉伸的細線相連（圖中虛線表示），細線只能沿軌道的凹槽運動．開始時，讓A、B兩小環分別靜止在圓弧軌道的最低點和傾斜軌道上，細線處于拉緊狀態．釋放后兩小環開始運動，求：
（1）小環A運動到圓弧的最右端時的速度大小．
（2）分析小環A能否到達圓弧的最高點？如能，則計算小環到達最高點時的速度大小；如不能，則估算小環從最低點開始上升的最大高度．（精確到1cm）

Answer 1

分析：（1）把A、B兩個小環看成一個整體，它們速度大小相等，從初位置運動到A球到達最右端的過程中運用機械能守恒即可求解速度；
（2）假設小環能上升到最高點，運用機械能守恒列式進行分析判斷．若不能，由機械能守恒和幾何知識求解最大高度．

解答：解：（1）對整體從初位置運動到A球到達最右端的過程中運用機械能守恒得：

1

2

×2mv2-0=-mgR+mg×

1

4

×2πR×sin45°
帶入數據解得：v=0.744m/s
（2）假設小環能上升到最高點，則對整體從初位置運動到A球到達最高點的過程中運用機械能守恒得：

1

2

×2mv′2-0=-mg?2R+mg×

1

2

×2πR×sin45°
帶入數據化簡得：2×v′²=-2×10×1+20×0.5×

2

2

＜0
故假設不可能，即說明小環A不能到達圓弧的最高點．
設小環A從最低點開始上升的最大高度為h，B沿斜面下滑的距離為S，則有
  mgh=mgSsin45°
又根據數學知識有：cos

S

R

=

R-h

R

聯立代入得：cos

2 h

50

=1-

h

50

解得，h≈70cm
答：（1）小環A運動到圓弧的最右端時的速度大小是0.744m/s．
（2）小環A不能到達圓弧的最高點．小環A從最低點開始上升的最大高度是70cm．

點評：本題是系統的機械能守恒問題，環到達最高點的臨界條件是速度等于零，要善于運用假設進行分析．