Question

（2010·全國卷1）25．（18分）如右圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側。引力常數為G。

求兩星球做圓周運動的周期。

在地月系統中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行為的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期T2。已知地球和月球的質量分別為5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2與T1兩者平方之比。（結果保留3位小數）

 

Answer 1

【答案】

⑴     ⑵1.01

【解析】 ⑴A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期。因此有

，，連立解得，

對A根據牛頓第二定律和萬有引力定律得

化簡得  

⑵將地月看成雙星，由⑴得

將月球看作繞地心做圓周運動，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得

化簡得  

所以兩種周期的平方比值為