Question

如圖所示，在光滑的圓錐頂用長為L的細線懸掛一質量為m的小球，圓錐頂角為2θ，當圓錐和球一起以角速度ω勻速轉動時，球壓緊錐面．
（1）此時繩的張力是多少？
（2）若要小球離開錐面，則小球的角速度至少為多少？

Answer 1

分析：（1）分析小球的受力情況，由合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式，求解繩的張力．
（2）小球剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律求出該臨界角速度ω₀．

解答：解：（1）小球受到重力mg、繩的拉力T和錐面的支持力N，如圖所示．根據牛頓第二定律得：
   Tsinθ-Ncosθ=mω²Lsinθ  ①
   Tcosθ+Nsinθ=mg；   ②
聯立解得，T=mgcosθ+mω²Lsin²θ；
（2）小球剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，設此時角速度為ω₀，由①②兩式得：
   mgtanθ=mω₀²Lsinθ  ③
解得：ω₀=

g Lcosθ

即要小球離開錐面，則小球的角速度至少為

g Lcosθ

．
答：
（1）此時繩的張力是mgcosθ+mω²Lsin²θ；
（2）若要小球離開錐面，則小球的角速度至少為

g Lcosθ

．

點評：本題的關鍵點在于分析小球向心力的來源，抓住小球剛離開圓錐體表面時支持力為零，直接應用向心力公式求解．