Question

如圖，水平地面上方有一絕緣彈性豎直薄檔板，板高h=3m，與板等高處有一水平放置的小籃筐，筐口的中心距擋板s=1m．整個空間存在勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B=1T，而勻強電場未在圖中畫出；質量m=1×10^-3kg、電量q=-1×10^-3C的帶電小球（視為質點），自擋板下端的左側以某一水平速度v₀開始向左運動，恰能做勻速圓周運動，若小球與檔板相碰后以原速率彈回，且碰撞時間不計，碰撞時電量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中．（g取10m/s²，可能會用到三角函數值sin37°=0.6，cos37°=0.8）．試求：
（1）電場強度的大小與方向；
（2）小球運動的可能最大速率；
（3）小球運動的可能最長時間．

Answer 1

分析：（1）小球做勻速圓周運動，故電場力與重力平衡，根據平衡條件列式求解；
（2）洛倫茲力提供向心力，故半徑越大，速度越大，當小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運動半徑最大，根據幾何關系求解出半徑，然后求解最大速度；
（3）要求最小速度，需求最小半徑，畫出軌跡，根據幾何關系得到半徑的可能值，然后求解速度．

解答：解：（1）小球做勻速圓周運動，則
qE=mg        
故E=

mg

q

=10N/C
電場方向豎直向下
（2）若小球速率最大，則運動半徑最大，
如軌跡①所示

R

2 1

=s2+(h-R1)2
可得：R1=

5

3

m
由qv1B=m

v 2 1

R1

  
?v1=

qBR1

m

=

5

3

m/s
（3）因為速度方向與半徑垂直，圓心必在擋板所在的豎直線上．
      
且R≥s=1m
小球與擋板碰撞n次后落入筐中，則有
2nR＜h
?n＜1.5，故n可取0或1才能
保證小球落入筐中
①當n=0時，即為（2）問中的解
②當n=1時，有
（3R-h）²+s²=R²
可得R₂=1m，運動軌跡如由圖中②所示
或者R3=

5

4

m，運動軌跡如由圖中③所示
以軌跡③運動，小球所花時間最長 
則有
T=

2πm

qB

=2π
sinθ=

R2

R3

=

4

5

故θ=53°，軌跡③運動對應的圓心角α=360°+（180°-53°）=487°
運動最長時間為t=

α

360°

T=

974

360

πs≈8.5s
答：（1）電場強度E=10N/C，電場方向豎直向下；
（2）小球運動的可能最大速率為

5

3

m/s；
（3）小球運動的可能最長時間為8.5s．

點評：本題關鍵明確小球的運動規律，找到向心力來源，畫出軌跡，然后根據幾何關系求解半徑，再聯立方程組求解．