Question

如圖，水平地面上方有一底部帶有小孔的絕緣彈性豎直檔板，板高h=9m，與板等高處有一水平放置的籃筐，筐口的中心離擋板s=3m．板的左側以及板上端與筐口的連線上方存在勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B=1T；質量m=1×10^-3kg、電量q=-1×10^-3C、直徑略小于小孔寬度的帶電小球（視為質點），以某一速度水平射入場中做勻速圓周運動，若與檔板相碰就以原速率彈回，且碰撞時間不計，碰撞時電量不變，小球最后都能從筐口的中心處落入筐中，g=10m/s²，求：
（1）電場強度的大小與方向；
（2）小球運動的最大速率；
（3）小球運動的最長時間．

Answer 1

分析：（1）小球做勻速圓周運動，故電場力與重力平衡，根據平衡條件列式求解；
（2）洛倫茲力提供向心力，故半徑越大，速度越大，當小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運動半徑最大，根據幾何關系求解出半徑，然后求解最大速度；
（3）要求最長時間，需求最大圓心角，畫出軌跡，根據幾何關系得到半徑的可能值，然后求解最長時間．

解答：解：（1）因小球能做勻速圓周運動，所以有：Eq=mg
解得：E=

mg

q

=10N/C
方向豎直向下
（2）洛侖茲力提供向心力有：qvB=m

v 2

R

且 T=

2πR

v

得：T=2π≈6.28s

小球不與擋板相碰直接飛入框中，其運動半徑最大，如圖1所示，由幾何知識可得：
(h-Rm)2+s2=Rm2
求得：R_m=5m    
vm=

BqR1

m

=5m/s
（3）因為速度方向與半徑方向垂直，圓心必在檔板的豎直線上  
R≥s=3m
設小球與檔板碰撞n次，其最大半徑為

h

2n

要擊中目標必有：

h

2n

≥3，

9

2n

≥3，解得：n≤1.5，故n只能取0，1…
當n=0，即為（2）問中的解
當n=1，時可得：
（h-3R）²+s²=R²
（9-3R）²+3²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
R₂=3.75m時軌跡對應的圓心角最大，其運動軌跡如圖2中的軌跡①所示，故運動時間最長，有：
t=

1

2

T+

3

4

T+

37°

360°

T=

5

4

T+

37

360

T=(

5

4

+

37

360

)×

2πm

qB

=(

5

4

+

37

360

)×

2π×0.001

0.001×1

=≈8.45 s
（3）因為速度方向與半徑方向垂直，圓心必在檔板的豎直線上  R≥s=3m
設小球與檔板碰撞n次[h-（2n+1）R]²+s²=R²
代入得：2n（n+1）R²-9（2n+1）R+45=0
使R有解必須有△≥0，代入得：4n²+4n-9≤0，可得：-2.07≤n≤1.07
n只能取0，1  （以下同上）
（3）要求最小速度，需求最小半徑，由幾何關系得：（nR-h）²+s²=R²或（h-nR）²+s²=R²
整理得：（n-1）R²-18nR+90=0
此方程R有解，則有：（-18n）²-4×（n²-1）×90≥0
得 n≤

10

所以：n=1或n=3（n為奇數）
（以下同上）
答：（1）電場強度的大小為10N/C，方向為豎直向下；
（2）小球運動的最大速率為5m/s；
（3）小球運動的最長時間為8.45 s．

點評：本題關鍵明確小球的運動規律，找到向心力來源，畫出軌跡，然后根據幾何關系求解半徑，再聯立方程組求解．