Question

如圖所示，光滑的半球形固定在水平面上，其半徑為R，有一小球（可視為質點）靜止在半球形的最高點，小球受一擾動沿球面向下滾動，初速忽略不計，重力加速度為g．
求：（1）小球落到地面時的速度大小．
（2）小球落到地面時速度的水平分量和豎直分量．

Answer 1

分析：（1）小球從開始向下滾動到落地過程，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律列式可求出小球落到地面時的速度大小．
（2）分兩個過程研究：小球在球面上滾動和離開球面．當小球剛離開球面時，由重力的分力提供向心力，由牛頓第二定律和機械能守恒結合此時小球的速度；小球離開球面后做斜下拋運動，水平方向勻速運動，由速度分解求得水平方向的分速度，并求出豎直方向的分速度．

解答：解：（1）小球從開始向下滾動到落地過程，由機械能守恒定律得：

1

2

mv2=mgR  
解得：v=

2gR

（2）球離開球面時滿足：mgcosα=

m v 2 1

R

由機械能守恒定律得：mgR(1-cosα)=

1

2

m

v

2 1

解得：v1=

2 3 gR

，cosα=

2

3

離開球面后，小球的水平速度不變．
∴vx=v1cosα=

2

3

2 3 gR

，vy=

v 2   - v 2 x

=

46 27 gR

答：
（1）小球落到地面時的速度大小是

2gR

．
（2）小球落到地面時速度的水平分量和豎直分量分別為

2

3

2 3 gR

和

46 27 gR

．

點評：本題關鍵要仔細研究小球的運動過程，把握小球離開球面時的臨界條件，并能結合牛頓第二定律和機械能守恒、運動的分解研究．