Question

13．彈簧在不受作用力時所具有的長度稱為自然長度記為l₀；彈簧受到拉力作用后會伸長，受到壓力作用后會縮短，如果受力作用時的長度稱為實際長度，記為l；而l與l₀之差的絕對值稱為形變量，記為x，x=|l-l₀|，有一彈簧振子如圖甲所示，放在光滑的水平面上，彈簧處于自然長度時M靜止在O位置，一質量為 m=20g的子彈，以一定的初速度v₀射入質量為M=1980g的物塊中，并留在其中一起壓縮彈簧，振子在振動的整個過程中，彈簧的彈性勢能隨彈簧的形變量變化的關系如圖乙所示，則
（1）根據圖線可以看出，M被子彈擊中后將在O點附近振動的振幅為多大？?
（2）子彈的初速度v₀為多大？?
（3）當M運動到O點左邊離O點2cm的A點處時，速度u多大？?
（4）現若水平面粗糙，上述子彈擊中M后同樣從O點運動到A點時，振子的速度變為3m/s，則M從開始運動到A點的過程中，地面的摩擦力對M做了多少功？彈簧的彈力對M做了多少功？

Answer 1

分析 （1）從圖中可以看出當x=4cm時，彈簧的彈性勢能最大，此時速度為0，即可求得振幅；
（2）子彈和物塊一起壓縮彈簧的過程中系統機械能守恒，求出剛射入時的共同速度，子彈射入物塊時間極短，瞬間子彈、物塊組成的系統動量守恒，根據動量守恒即可求解；
（3）從圖線可以看出：M運動到O點左邊2cm處時的彈性勢力能為E_P=4J，子彈和物塊一起壓縮彈簧的過程中根據系統機械能守恒求出速度；
（4）根據功能關系及動能定理即可求解．

解答 解：（1）由圖象可知振幅為4cm．?
（2）在彈簧被壓縮過程中系統機械能守恒，有：
E_km=E_pm=$\frac{1}{2}$（M+m）v²
代入數據解得：v=4m/s?
子彈射入物塊時間極短，瞬間子彈、物塊組成的系統動量守恒，取向左為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v
代入數據解得：v₀=400m/s
（3）由圖線可知，當M運動到O點左邊2 cm處時，此時彈性勢能為：E_p=4 J?
E_pm=E_p+E_k
又 E_k=$\frac{1}{2}$mu²
代入數據解得：u=2$\sqrt{3}$ m/s?
（4）設地面的摩擦力對M做的功記為W_f，M從開始運動到A點，根據功和能關系有：
W_f=E_k+Ep-E_km=-3 J
設彈簧的彈力對M做的功記為W_f，則由功能關系得：W_f+W_k=$\frac{1}{2}$（M+m）u²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²?
解得彈簧的彈力對M做功為：W_k=-4 J
答：（1）根據圖線可以看出，M被子彈擊中后將在O點附近振動的振幅為4cm；
（2）子彈的初速度v₀為400 m/s；
（3）當M運動到O點左邊離O點2cm的A點處時，速度u為2$\sqrt{3}$m/s；
（4）地面的摩擦力對M做的功為-3J，彈簧的彈力對M做的功為-4J．

點評 解決本題的關鍵能根據圖象有效信息，分析子彈和木塊的運動情況，把握能量的轉化情況，運用機械能守恒定律、動量守恒定律及動能定理研究．