Question

（2012?綿陽模擬）如圖所示，兩根足夠長、電阻不計(jì)、間距為d的光滑平行金屬導(dǎo)軌，其所在平面與水平面夾角為θ，導(dǎo)軌平面內(nèi)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小b方向垂直于斜面向上，ab與cd之間相距為L₀金屬桿甲、乙的阻值相同，質(zhì)量均為m，甲桿在磁場區(qū)域的上邊界ab處，乙桿在甲桿上方與甲相距L處，甲、乙兩桿都與導(dǎo)軌垂直．靜止釋放兩桿的同時(shí)，在甲桿上施加一個(gè)垂直于桿平行于導(dǎo)軌的外力F，使甲桿在有磁場的矩形區(qū)域內(nèi)向下做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小a=2gsinθ甲離開磁場時(shí)撤去F，乙桿進(jìn)入磁場后恰好做勻速運(yùn)動，然后離開磁場．
（1 ）求每根金屬桿的電阻R是多大？
（2 ）從釋放金屬桿開始計(jì)時(shí)，求外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式？并說明F的方向．
（3 ）若整個(gè)過程中，乙金屬桿共產(chǎn)生熱量Q，求外力F對甲金屬桿做的功W是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出乙桿開始做勻加速直線運(yùn)動的加速度，從而得出乙桿進(jìn)入磁場時(shí)的速度，抓住乙桿進(jìn)入磁場后恰好做勻速運(yùn)動，結(jié)合閉合電路歐姆定律，運(yùn)用共點(diǎn)力平衡求出電阻R的大小．
（2）根據(jù)甲桿做勻加速直線運(yùn)動，結(jié)合牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律以及切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式，求出F隨時(shí)間t的關(guān)系．
（3）甲在磁場中運(yùn)動過程中，乙沒有進(jìn)入磁場，根據(jù)能量守恒定律求出甲穿過磁場區(qū)域，外力做功與產(chǎn)生熱量的關(guān)系，乙在磁場中運(yùn)動過程中，甲乙產(chǎn)生相同的熱量，根據(jù)能量守恒求出乙通過磁場區(qū)域產(chǎn)生的熱量，結(jié)合兩個(gè)關(guān)系，求出外力做的功．

解答：解：（1）設(shè)甲在磁場區(qū)域abcd內(nèi)運(yùn)動時(shí)間為t₁，乙從開始運(yùn)動到ab位置的時(shí)間為t₂，則
L=

1

2

?2gsinθt12，L=

1

2

?gsinθt22

t1=

L gsinθ

，t2=

2L gsinθ

t₁＜t₂，即甲離開磁場時(shí)，乙還沒有進(jìn)入磁場．
設(shè)乙進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v₁，乙中的感應(yīng)電動勢為E₁，回路中的電流為I₁，則
v1=

2gLsinθ

E₁=Bdv₁
I₁=

E1

2R

mgsinθ=BI₁d
解得R=

B2d2

2m

2L gsinθ

．
（2）從釋放金屬桿開始計(jì)時(shí)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，甲的速度為v，甲中的感應(yīng)電動勢為E，回路中的電流為I，外力為F，則
v=at
E=Bdv
I=

E

2R

F+mgsinθ-BId=ma
a=2gsinθ
解得F=mgsinθ+mgsinθ

2gsinθ L

?t （0≤t≤

L gsinθ

）
方向垂直于桿平行于導(dǎo)軌向下．
（3）甲在磁場中運(yùn)動過程中，乙沒有進(jìn)入磁場，設(shè)甲離開磁場時(shí)速度為v₀，乙沿導(dǎo)軌運(yùn)動的距離是x，甲、乙產(chǎn)生的熱量相同，設(shè)分別為Q₁，則
v02=2aL．
W+mgLsinθ=2Q1+

1

2

mv02
解得W=2Q₁+mgLsinθ
乙在磁場中運(yùn)動過程中，甲乙產(chǎn)生相同的熱量，設(shè)分別為Q₂，則
2Q₂=mgLsinθ
根據(jù)題意有Q=Q₁+Q₂
解得 W=2Q．
答：（1）每根金屬桿的電阻R=

B2d2

2m

2L gsinθ

．
（2）外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系為F=mgsinθ+mgsinθ

2gsinθ L

?t （0≤t≤

L gsinθ

），方向垂直于桿平行于導(dǎo)軌向下．
（3）外力F對甲金屬桿做的功W是2Q．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵理清兩桿在整個(gè)過程中的運(yùn)動情況，結(jié)合牛頓第二定律、切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小公式、閉合電路歐姆定律以及能量守恒定律進(jìn)行求解．