Question

（2012?奉賢區(qū)二模）如圖所示，一質(zhì)量m=0.1kg、電量q=1.0×10^-5 C的帶正電小球（可視作點(diǎn)電荷），它在一高度和水平位置都可以調(diào)節(jié)的平臺(tái)上滑行一段距離后平拋，并沿圓弧軌道下滑．A、B為圓弧兩端點(diǎn)，其連線水平，已知圓弧半徑R=1.0m，平臺(tái)距AB連線的高度h可以在0.2m-0.8m．之間調(diào)節(jié)．有一平行半徑OA方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，只存在圓弧區(qū)域內(nèi)．為保證小球從不同高度h平拋，都恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，小球平拋初速度v₀和h滿足如圖所示的拋物線，同時(shí)調(diào)節(jié)平臺(tái)離開A點(diǎn)的距離合適．不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，求：
（1）小球在空中飛行的最短時(shí)間t；
（2）平臺(tái)離開A的水平距離x范圍；
（3）當(dāng)h=0.2m且E=2.5×10⁴N/C時(shí)，小球滑到最低點(diǎn)C點(diǎn)的速度v；
（4）為了保證小球在圓軌道內(nèi)滑動(dòng)到C點(diǎn)的速度都是（3）中的v，則電場(chǎng)力F=qE的大小應(yīng)與平臺(tái)高度h滿足的關(guān)系．（通過列式運(yùn)算說明）

Answer 1

分析：（1）小球在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，由t═

2h g

求出最短時(shí)間．
（2）因?yàn)樾∏驈牟煌�高度h平拋，都恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，則小球進(jìn)入圓弧軌道時(shí)的速度方向不變，根據(jù)速度的分解求出球進(jìn)入圓弧軌道時(shí)的速度方向與豎直方向的夾角，得到v₀和h的表達(dá)式，求出初速度，即可求出水平距離x范圍；
（3）從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理求得小球滑到最低點(diǎn)C點(diǎn)的速度v．
（4）從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理求出電場(chǎng)力F的大小應(yīng)與平臺(tái)高度h滿足的關(guān)系．

解答：解：（1）當(dāng)平臺(tái)高度為0.2m時(shí)，空中飛行的最短時(shí)間t=

2h g

=0.2s
（2）因?yàn)樾∏驈牟煌�高度h平拋，都恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，所以小球進(jìn)入圓弧軌道時(shí)的速度方向不變，設(shè)此速度與豎直方向成α角．
tanα=

v0

vy

=

v0

2gh

v₀²=2ghtan²α
由圖象中當(dāng)h=0.8m時(shí)，v₀=3m/s代入上式得
  9=2×10×0.8×tan²α
tanα=0.75 α=37° 則θ=106°
所以v₀²=11.25h
當(dāng)h=0.2m時(shí)，v₀=1.5m/s
平臺(tái)離開A的最小距離為s₁=v₀t=1.5×0.2=0.3m
同理得平臺(tái)離開A的最大距離為s₂=v₀

2h g

=3×

2×0.8 10

=1.2m
（3）小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A=

v0

sinα

=

1.5

0.6

=2.5m/s
從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
mgR（1-cos53°）-qE R（1-cos53°）=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_A²
代入數(shù)據(jù)，解得v_C=3.5m/s
（4）從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
mgR（1-cos53°）-FR（1-cos53°）=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_A²
=

1

2

mv_C²-

1

2

m(

vy

cosα

)2=

1

2

mv_C²-

1

2

m

2gh

cos2α

代入數(shù)據(jù)得32F=125h-17
得  F=3.9h-0.53
答：
（1）小球在空中飛行的最短時(shí)間t是0.2s；
（2）平臺(tái)離開A的水平距離x范圍；
（3）當(dāng)h=0.2m且E=2.5×10⁴N/C時(shí)，小球滑到最低點(diǎn)C點(diǎn)的速度v；
（4）為了保證小球在圓軌道內(nèi)滑動(dòng)到C點(diǎn)的速度都是（3）中的v，則電場(chǎng)力F=qE的大小應(yīng)與平臺(tái)高度h滿足的關(guān)系是 F=3.9h-0.53．

點(diǎn)評(píng)：本題是平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理的綜合，要熟練應(yīng)用分解的方法研究平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)物理規(guī)律得到解析式是基本的方法和思路．