Question

如圖所示，空間勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為E、方向沿著負(fù)y方向，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直xoy平面指向紙內(nèi)．有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子（不計(jì)重力），從O點(diǎn)出發(fā)開始計(jì)時(shí)，沿+x方向以初速度v₀=

2E

B

射入場區(qū)．求：
（1）帶電粒子能夠到達(dá)離x軸最遠(yuǎn)的距離
（2）從開始到t=

2πm

Bq

的時(shí)間內(nèi)，粒子沿x軸運(yùn)動的距離
（3）在t=

2πm

Bq

時(shí)刻撤去電場，粒子在以后的運(yùn)動中，還受到與速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k為已知常數(shù)）．則電場撤去后粒子還能發(fā)生的位移大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，從而求出半徑大小，而離x軸最遠(yuǎn)距離為直徑；
（2）根據(jù)周期公式，從而可求出沿x軸運(yùn)動的距離S；
（3）根據(jù)牛頓第二定律與運(yùn)動學(xué)公式，及洛倫茲力公式，從而得出表達(dá)式，并用微元法來求和，即可求解．

解答：解：帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動可看成是兩個(gè)分運(yùn)動的合運(yùn)動：一個(gè)是沿+x軸以速度v₁作勻速直線運(yùn)動；
一個(gè)是在xoy平面內(nèi)受洛侖茲力作用以速率v₂做勻速圓周運(yùn)動．
由Bqv₁=qE
知：v₁=

E

B

，
v₂=v₀-v₁=

E

B

．
（1）設(shè)帶電粒子以速率v₂在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R，
由Bqv2=m

v 2 2

R

   
得R=

mv2

Bq

=

Em

B2q

 
帶電粒子能夠到達(dá)離x軸最遠(yuǎn)的距離y_m=2R=

2mE

B2q

（2）從開始到t=

2πm

Bq

的時(shí)間內(nèi)，粒子沿x軸運(yùn)動的距離S=v1t=

2πmE

B2q

（3）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期T=

2πm

Bq

當(dāng)t=

2πm

Bq

=T時(shí)，帶電粒子恰好回到x軸處，分運(yùn)動的速度v₁與v₂的方向相同，
此時(shí)帶電粒子的速度仍為v₀，方向沿+x方向．
撤去電場后，帶電粒子受洛侖茲力和阻力作用，且洛侖茲力與阻力始終垂直．
設(shè)某瞬時(shí)的速度為v，加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律

(Bqv)2+f2

=ma  
 即 a=

(Bqv)2+(kv)2

m

 
取微小時(shí)間△t，速度變化量為
△v=a△t=

B2q2+k2

m

v△t
v△t=

m△v

B2q2+k2

則電場撤去后粒子還能發(fā)生的位移大小
S=v△t=

m△v

B2q2+k2

=

mv0

B2q2+k2

答：（1）帶電粒子能夠到達(dá)離x軸最遠(yuǎn)的距離

2mE

B2q

（2）從開始到t=

2πm

Bq

的時(shí)間內(nèi)，粒子沿x軸運(yùn)動的距離

2πmE

B2q

．
（3）在t=

2πm

Bq

時(shí)刻撤去電場，粒子在以后的運(yùn)動中，還受到與速度大小成正比、方向相反的阻力作用，即f=kv（k為已知常數(shù)）．則電場撤去后粒子還能發(fā)生的位移大小為

mv0

B2q2+k2

．

點(diǎn)評：考查用運(yùn)動的合成與分解處理帶電粒子在復(fù)合場的一般的曲線運(yùn)動，以及微量求和的思想方法．
要點(diǎn)：如何將一般的曲線運(yùn)動分解兩個(gè)簡單的分運(yùn)動；帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中僅受洛侖茲力作用的運(yùn)動規(guī)律；牛頓第二定律的矢量表達(dá)式在曲線運(yùn)動中的應(yīng)用．
如果是求路程，則應(yīng)為：a△t=

k

m

△x，v0-0=

ks

m

．