Question

傳送帶以穩定的速度v=6m/s順時針轉動，傳送帶與水平面的夾角θ=37°，現在將一質量m=2kg的物體（可以看作質點）輕放在其底端，傳送帶頂端平臺上的人通過輕繩以恒定的拉力F=20N拉物體，經過一段時間物體被拉到斜面頂端，如圖所示，已知傳送帶底端與頂端的豎直高度H=6m，物體與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.25，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．（ g取10m/s²，sin 37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）從底端開始經多長時間物體與傳送速度相同？
（2）若達到共速后保持拉力不變，物體還需多長時間到達斜面頂端？
（3）若物體與傳送帶達到速度相等的瞬間，突然撤去拉力，物體還需要多長時間離開傳送帶？（結果可用根式表示）

Answer 1

分析：（1）先假設傳送帶足夠長，對滑塊受力分析，根據牛頓第二定律求解出加速度，根據速度時間公式列方程求物體與傳送速度相同所用的時間，
（2）當速度等于傳送帶速度后，通過受力分析，可以得出物體繼續運動的加速度大小，最后得到總時間；
（3）若在物體與傳送帶達到同速瞬間撤去恒力F，物體將先勻加速上升再勻加速下滑，先受力分析，根據牛頓第二定律求出加速度，然后根據運動學公式列式求解．

解答：解：（1）物體在達到與傳送帶速度v=6m/s相等前，有：
F+μmgcos37°-mgsin37°=ma₁ 
解得a₁=6m/s²
由v=a₁t₁，得：t₁=1s   
位移  x₁=

v2-0

2a1

=

62-0

2×6

=3m
（2）達到共速后，在拉力作用下繼續加速，則所受摩擦力沿斜面向下，根據牛頓第二定律有：F-μmgcos37°-mgsin37°=ma₂
解得a₂=2m/s²，物體勻加速上滑
位移x₂=

H

sin37°

-3m=7m
則   x₂=vt₂+

1

2

a₂t₂²
解得t₂=1s；
（3）在物品與傳送帶達到同速瞬間撤去恒力F，
由于μmgcos37°=4N，mgsin37°=12N，
故mgsin37°＞μmgcos37°，則此后物體做勻減速運動，加速度大小為a₃
mgsin37°-μmgcos37°=ma₃
解得：a₃=4m/s²
設再過t₃時間物體的速度減為零，則a₃t₃=v，得：t₃=

6m/s

4m/s2

=1.5s
此過程物體通過的位移為：
x₃=

v2-0

2a3

=4.5m；
由于傳送帶總長為10m，x₁+x₃=3m+4.5m=7.5m＜10m，說明此后物體速度減速為零后沿傳送帶以a₃加速下滑．
設下滑的時間為t₄，則有：7.5m=

1

2

a₃t₄²
代入數據得：t₄=

15

2

s；
故撤去拉力，物體還需要時間t′=t₃+t₄=（

3

2

+

15

2

）s
答：（1）從底端開始經1s時間物體與傳送速度相同．
（2）若達到共速后保持拉力不變，物體還需1時間到達斜面頂端．
（3）若物體與傳送帶達到速度相等的瞬間，突然撤去拉力，物體還需要

3+ 15

2

s時間離開傳送帶．

點評：本題關鍵是會分階段判斷物體的運動情況，多次受力分析，根據牛頓第二定律求解出加速度，然后根據運動學公式列式求解位移．