Question

5．如圖所示，質(zhì)量為m的物體A放在地面上的豎直輕彈簧B上，且彈簧B分別與地面和物體A相連接．現(xiàn)用細(xì)繩跨過(guò)定滑輪將物體A與另一輕彈簧C連接，當(dāng)彈簧 C處在水平位置且右端位于 a 點(diǎn)時(shí)它沒(méi)有發(fā)生形變．已知彈簧B和彈簧C的勁度系數(shù)分別為k₁和k₂，不計(jì)定滑輪、細(xì)繩的質(zhì)量和摩擦．將彈簧C的右端由a點(diǎn)沿水平方向拉到b點(diǎn)時(shí)，彈簧B的彈力的大小變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{2}{5}$，求：
（1）彈簧C在a點(diǎn)時(shí)，彈簧B的壓縮量x₁
（2）a、b兩點(diǎn)間的距離L．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)彈簧C在a點(diǎn)時(shí)，彈簧C剛好沒(méi)有發(fā)生變形時(shí)，彈簧B受到的壓力等于物體A的重力mg，根據(jù)胡克定律求出彈簧B的壓縮量x₁．
（2）當(dāng)將彈簧C的右端由a點(diǎn)沿水平方向拉到b點(diǎn)，彈簧B對(duì)物體A的彈力大小等于$\frac{2}{5}$mg時(shí)，彈簧C處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，而彈簧B可能伸長(zhǎng)也可能壓縮，分兩種情況，根據(jù)胡克定律求出此時(shí)B、C形變量，由幾何關(guān)系求解a、b兩點(diǎn)間的距離L．

解答 解：（1）當(dāng)彈簧C在a點(diǎn)時(shí)，彈簧B的壓縮量為：x₁=$\frac{mg}{{k}_{1}}$；
（2）第一種情形：拉伸彈簧C后，若彈簧B是壓縮，B的壓縮量為：
    x₂=$\frac{\frac{2}{5}mg}{{k}_{1}}$=$\frac{2mg}{5{k}_{1}}$；
此時(shí)，彈簧C的拉力為$\frac{3}{5}$mg，則C的伸長(zhǎng)量為：x₃=$\frac{\frac{3}{5}mg}{{k}_{2}}$=$\frac{3mg}{5{k}_{2}}$；
故此時(shí)a、b間距為：L=x₁-x₂+x₃=（$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$）$\frac{3mg}{5}$
第二種情形：拉伸彈簧C后，彈簧B是伸長(zhǎng)的，伸長(zhǎng)量為 x₂′=$\frac{\frac{2}{5}mg}{{k}_{1}}$
此時(shí)，彈簧C的拉力為mg+$\frac{2}{5}$mg=$\frac{7}{5}$mg
C的伸長(zhǎng)量為：x₃=$\frac{\frac{7}{5}mg}{{k}_{2}}$=$\frac{7mg}{5{k}_{2}}$
故此時(shí)a、b間距為：S_ab′=x₁+x₂′+x₃′=（$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$）$\frac{7mg}{5}$
答：
（1）彈簧C在a點(diǎn)時(shí)，彈簧B的壓縮量x₁是$\frac{mg}{{k}_{1}}$；
（2）a、b兩點(diǎn)間的距離L為（$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$）$\frac{3mg}{5}$或（$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$）$\frac{7mg}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含有彈簧的問(wèn)題，要學(xué)會(huì)分析彈簧的狀態(tài)，彈簧有三種狀態(tài)：原長(zhǎng)、伸長(zhǎng)和壓縮，含有彈簧的問(wèn)題中求解距離時(shí)，都要根據(jù)幾何知識(shí)研究所求距離與彈簧形變量的關(guān)系．