Question

2．如圖所示，質量為m=2kg的物塊放在傾角為θ=37°的斜面體上，斜面質量為M=4kg，地面光滑，現對斜面體施一水平推力F，要使物塊m相對斜面靜止，求：（取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）若斜面與物塊間無摩擦力，求m加速度的大小及m受到支持力的大小；
（2）若斜面與物塊間的動摩擦因數為μ=0.2，已知物體所受滑動摩擦力與最大靜摩擦力相等，求推力F的取值．（此問結果小數點后保留一位）

Answer 1

分析 （1）斜面M、物塊m在水平推力作用下一起向左勻加速運動，物塊m的加速度水平向左，合力水平向左，分析物塊m的受力情況，由牛頓第二定律可求出加速度a和支持力．
（2）用極限法把F推向兩個極端來分析：當F較小（趨近于0）時，由于μ＜tanθ，因此物塊將沿斜面加速下滑；若F較大（足夠大）時，物塊將相對斜面向上滑，因此F不能太小，也不能太大，根據牛頓第二定律，運用整體隔離法求出F的取值范圍．

解答 解：（1）由受力分析得：物塊受重力，斜面對物塊的支持力，合外力水平向左．

根據牛頓第二定律得：
  mgtanθ=ma
得 a=gtanθ=10×tan37°=7.5m/s²
m受到支持力 F_N=$\frac{mg}{cosθ}$=$\frac{20}{cos37°}$N=25N
（2）設物塊處于相對斜面向下滑動的臨界狀態時的推力為F₁，此時物塊的受力如下圖所示．

對物塊分析，在水平方向有 Nsinθ-μNcosθ=ma₁
豎直方向有  Ncosθ+μNsinθ-mg=0
對整體有  F₁=（M+m）a₁
代入數值得  ${a_1}=4.8m/{s^2}$，F₁=28.8N
設物塊處于相對斜面向上滑動的臨界狀態時的推力為F₂，
對物塊分析，在水平方向有  N′sin?-μN′cosθ=ma₂
豎直方向有  N′sinθ-μN′sinθ-mg=0
對整體有  F₂=（M+m）a₂
代入數值得  ${a_2}=11.2m/{s^2}$，F₂=67.2N
綜上所述可以知道推力F的取值范圍為：28.8N≤F≤67.2N．
答：
（1）m加速度的大小是7.5m/s²，m受到支持力的大小是25N．
（2）推力F的取值范圍為：28.8N≤F≤67.2N．

點評 解決本題的關鍵能夠正確地受力分析，抓住臨界狀態，運用牛頓第二定律進行求解，注意整體法和隔離法的運用．