Question

3．如圖所示，左邊為是兩個四分之一圓弧銜接而成的軌道EF，右邊為兩個斜面AB、CD和一段光滑圓弧組成的曲面臺．設大小兩個四分之一圓弧半徑為2R和R，兩斜面傾角均為θ=37⁰，AB=CD=2R，且A、D等高，D端固定一小擋板，假設碰撞不損失機械能．一質量為m的滑塊與斜面動摩擦因數均為0.25，將滑塊從地面上光滑的小平臺上以一定的初速度經E點進入圓弧軌道，從最高點F飛出后進入右邊的斜面上．重力加速度為g．
（1）設滑塊恰能無擠壓地從F點飛出，同時為了使滑塊恰好沿AB斜面進入右邊軌道，應調節右邊下面支架高度使斜面的A、D點離地高為多少？
（2）接（1）問，求滑塊在斜面上走過的總路程．
（3）當滑塊的以不同初速度進入EF，求其通過最高點F和小圓弧最低點E時受壓力之差的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出滑塊恰好到達F點的速度，根據速度方向與斜面AB平行，結合平拋運動的規律，運用平行四邊形定則求出豎直分速度，從而得出AD離地的高度．
（2）根據平行四邊形定則求出進入A點時滑塊的速度，對全過程運用動能定理，求出滑塊在斜面上走過的總路程．
（3）根據牛頓第二定律分別求出E、F的彈力，結合機械能守恒定律得出壓力差，結合最高點的最小速度求出壓力之差的最小值．

解答 解：（1）在F點，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{v_F^2}{2R}$，
得：v_F=$\sqrt{2gR}$
到達A點時速度方向要沿著AB，則有：v_y=v_F•tanθ=$\frac{3}{4}\sqrt{2gR}$
所以AD離地高度為：h=3R-$\frac{{{v_y}^2}}{2g}=\frac{39}{16}$R
（2）進入A點滑塊的速度為：v=$\frac{v_F}{cosθ}=\frac{5}{4}\sqrt{2gR}$
假設經過一個來回能夠回到A點，設回來時動能為E_K，則有：E_K=$\frac{1}{2}m{v^2}$-4μmg（cosθ）•2R＜0，所以滑塊不會滑到A而飛出．  
根據動能定理得：mg•2Rsinθ-μmg（cosθ）s_總=0-$\frac{1}{2}m{v^2}$
得滑塊在鍋內斜面上走過得總路程為：s_總=$\frac{221R}{16}$
（3）設初速度、最高點速度分別為v₁、v₂
由牛頓第二定律得：
在E點有：F₁-mg=m$\frac{v_1^2}{R}$
在F點有：F₂+mg=m$\frac{v_2^2}{2R}$
所以F₁-F₂=2mg+$\frac{m（2v_1^2-v_2^2）}{2R}$
由機械能守恒得：$\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}$mv₂²+3mgR
代入v₂的最小值v₂=$\sqrt{2gR}$得：壓力差的最小值為9mg                   
答：（1）設滑塊恰能無擠壓地從F點飛出，同時為了使滑塊恰好沿AB斜面進入右邊軌道，應調節右邊下面支架高度使斜面的A、D點離地高為$\frac{39}{16}$R．
（2）接（1）問，滑塊在斜面上走過的總路程是$\frac{221R}{16}$．
（3）當滑塊的以不同初速度進入EF，其通過最高點F和小圓弧最低點E時受壓力之差的最小值是9mg．

點評 本題是復雜的力學綜合題，關鍵要正確分析滑塊的受力情況和運動情況，把握每個過程和狀態的規律，運用平拋運動、動能定理及機械能守恒、牛頓運動定律等基本規律處理．