Question

6．如圖所示，AB是一個固定在豎直面內的弧形軌道，與豎直圓形軌道BCD在最低點B平滑連接，且B點的切線是水平的；BCD圓軌道的另一端D與水平直軌道DE平滑連接．B、D兩點在同一水平面上，且B、D兩點間沿垂直圓軌道平面方向錯開了一段很小的距離，可使運動物體從圓軌道轉移到水平直軌道上．現有一無動力小車從弧形軌道某一高度處由靜止釋放，滑至B點進入豎直圓軌道，沿圓軌道做完整的圓運動后轉移到水平直軌道DE上，并從E點水平飛出，落到一個面積足夠大的軟墊上．已知圓形軌道的半徑R=0.40m，小車質量m=2.5kg，軟墊的上表面到E點的豎直距離h=1.25m、軟墊左邊緣F點到E點的水平距離s=1.0m．不計一切摩擦和空氣阻力，弧形軌道AB、圓形軌道BCD和水平直軌道DE可視為在同一豎直平面內，小車可視為質點，取重力加速度g=10m/s²．
（1）要使小車能在豎直圓形軌道BCD內做完整的圓周運動，則小車通過豎直圓軌道最高點時的速度至少多大；
（2）若小車恰能在豎直圓形軌道BCD內做完整的圓周運動，則小車運動到B點時軌道對它的支持力多大；
（3）通過計算說明要使小車完成上述運動，其在弧形軌道的釋放點到B點的豎直距離應滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）小車在最高點，重力和軌道的壓力的合力提供向心力，當壓力為零時，速度最小，根據牛頓第二定律列式即可求解；
（2）根據機械能守恒定律求出小車通過B點的速度，在B點，根據牛頓第二定律列式即可求解；
（3）小車從E點水平飛出后做平拋運動，根據平拋運動的基本公式結合機械能守恒定律即可求解．

解答 解：（1）設小車能在豎直圓形軌道BCD內做完整的圓周運動，小車通過圓軌道最高點時的最小速度為v_C，
根據牛頓第二定律有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$m/s=2.0m/s 
（2）小車恰能在圓軌道內做完整的圓周運動，此情況下小車通過B點的速度為v_B，軌道對小車的支持力為F_N．
根據機械能守恒定律有  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv_C²+2mgR  
解得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s
根據牛頓第二定律有  F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得  F_N=150N    
（3）設小車從E點水平飛出落到軟墊上的時間為t，則 h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=0.50s
設小車以v_E的速度從E點水平飛出落到軟墊F點右側，則 v_Et＞s，解得 v_E＞2.00m/s
要使小車完成題目中所述運動過程，應當滿足兩個條件：
①小車通過軌道B點的速度 v_B≥2$\sqrt{5}$m/s；
②小車通過E點的速度v_E＞2.00m/s
因為v_B=v_E
綜合以上兩點，小車通過B點的速度應不小于v_B=2$\sqrt{5}$m/s，
設釋放點到B點的豎直距離為H，根據機械能守恒定律有 mgH=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得 H=1.0m
則釋放點到B點的豎直距離 H≥1.0m
答：（1）要使小車能在豎直圓形軌道BCD內做完整的圓周運動，則小車通過豎直圓軌道最高點時的速度至少為2m/s；
（2）若小車恰能在豎直圓形軌道BCD內做完整的圓周運動，則小車運動到B點時軌道對它的支持力多大為150N；
（3）通過計算說明要使小車完成上述運動，其在弧形軌道的釋放點到B點的豎直距離應滿足H≥1.0m．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律、平拋運動基本公式、機械能守恒定律的應用．對于圓周運動，涉及力的問題，往往根據向心力進行分析處理．