Question

列車載重時(shí)直接向前起動(dòng)有困難，司機(jī)常常先倒車再起動(dòng)前進(jìn)．設(shè)在平直軌道上的某機(jī)車后面掛接有n節(jié)車廂，機(jī)車與每節(jié)車廂的質(zhì)量都為m，它們所受的阻力都為自身重力的k倍，倒車后各節(jié)車廂間的掛鉤所留間隙均為d，如圖（1）所示，在這種植況下，機(jī)車以恒定的牽引力F由靜止開始起動(dòng)，機(jī)車及各車廂間掛接的時(shí)間極短，掛接后掛鉤的狀態(tài)如圖（2）所示．求：
（1）第一節(jié)車廂剛被帶動(dòng)時(shí)列車的速度
（2）最后一節(jié)車廂剛被帶動(dòng)時(shí)列車的速度
（3）要想使最后一節(jié)車廂也能被帶動(dòng)起來，機(jī)車牽引力 F的最小值．

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)能定理可以求出掛接第一節(jié)車廂時(shí)機(jī)車的速度，掛接車廂時(shí)機(jī)車與車廂組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出列車的速度．
（2）由動(dòng)能定理與動(dòng)量守恒定律可以求出最后一節(jié)車廂剛被帶動(dòng)時(shí)列車的速度．
（3）最后一節(jié)車廂被帶動(dòng)起來的條件是，列車的速度大于等于零，據(jù)此求出拉力大�。�

解答：解：（1）掛接第一節(jié)車廂前，由動(dòng)能定理得：
（F-kmg）d=

1

2

mv₁′²-0，
掛接第一節(jié)車廂的過程中，動(dòng)量守恒，
由動(dòng)量守恒定律得：mv₁′=2mv₁，
解得：v₁=

1 2 ( F m -kg)d

；
（2）掛接第二節(jié)車廂前，由動(dòng)能定理得：
（F-k?2mg）d=

1

2

mv₂′²-

1

2

mv₁²，
掛接第二節(jié)車廂的過程中，動(dòng)量守恒，
由動(dòng)量守恒定律得：2mv₂′=3mv₂，
解得：v₂=

2 3 ( F m - 5 3 kg)d

，
掛接第三節(jié)車廂前，由動(dòng)能定理得：
（F-k?3mg）d=

1

2

mv₃′²-

1

2

mv₂²，
掛接第三節(jié)車廂的過程中，動(dòng)量守恒，
由動(dòng)量守恒定律得：3mv₂′=4mv₃，
解得：v₃=

3 4 (F- 7 3 kg)d

，
同理可得，第n節(jié)車廂剛被帶動(dòng)時(shí)的速度：
v_n=

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

；
（3）要想使最后一節(jié)車廂也能被帶動(dòng)起來，
則v_n≥0，即

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

≥0，

F

m

-

2n+1

3

kg≥0，
則F≥

2n+1

3

kmg；
答：（1）第一節(jié)車廂剛被帶動(dòng)時(shí)列車的速度為：

1 2 ( F m -kg)d

；
（2）最后一節(jié)車廂剛被帶動(dòng)時(shí)列車的速度為

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

；
（3）要想使最后一節(jié)車廂也能被帶動(dòng)起來，機(jī)車牽引力F的最小值為

2n+1

3

kmg．

點(diǎn)評：應(yīng)用動(dòng)能定理與動(dòng)量守恒定律即可正確解題，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．