Question

如圖所示，長為R的不可伸長輕繩上端固定在O點，下端連接一小球，小球與地面間的距離可以忽略（但小球不受地面支持力）且處于靜止狀態．在最低點給小球一沿水平方向的初速度，此時繩子恰好沒斷，小球在豎直平面內做圓周運動．假設小球到達最高點時由于繩子碰到正下方P處的釘子恰好斷裂，最后小球落在距初始位置水平距離為4R的地面上，重力加速度為g．試求：
（1）繩突然斷開時小球的速度v；
（2）豎直方向上O與P的距離L．

Answer 1

分析：（1）繩突然斷開后，小球做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，高度已知，可以求出運動的時間，水平方向做勻速直線運動，水平位移已知，可以求出速度v；
（2）球繞O點做圓周運動，要求小球對繩的拉力，就要求出此時的速度v₀，求v₀可以根據小球從最低點到最高點的過程中用動能定理去求，再根據向心力公式求出繩子的拉力，在最高點求出半徑r，即為L．

解答：解：（1）繩突然斷開后，小球做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，由h=

1

2

gt2得：
t=

2h g

=

4R g

 小球水平方向做勻速直線運動，由x=vt得：v=

x

t

=

4R

4R g

=2

gR

（2）從最低點到最高點的過程中，根據動能定理得：

1

2

mv2-

1

2

mv02=-mg?2R
解得：v0=2

2

gR
在最低點有：
T-mg=m

v02

R

解得：T=9mg
所以繩子最大承受力為9mg，
在最高點由：
mg+T=m

v2

r

解得：r=

2

5

R
所以豎直方向上O與P的距離L=r=

2

5

R
答：（1）繩突然斷開時小球的速度v為2

gR

；
（2）豎直方向上O與P的距離L為

2

5

R．

點評：本題是平拋運動和圓周運動相結合的典型題目，除了運用平拋運動和圓周運動的基本公式外，求速度的問題，動能定理不失為一種好的方法．