Question

14．如圖為我國自主研制發射的“高分一號”與北斗導航系統兩顆衛星在空中同一平面內運動的示意圖．“北斗”系統中兩顆衛星“G₁”和“G₂”以及“高分一號”均可認為繞地心O做勻速圓周運動．衛星“G₁”和“G₂”的軌道半徑為r，某時刻兩顆衛星分別位于軌道上的A、B兩位置，“高分一號”在C位置．若衛星均順時針運行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計衛星間的相互作用力．則以下說法正確的是（　　）

• A． A 的周期大于 C 的周期
• B． B的角速度大于C的角速度
• C． 衛星“G₁”由位置A運動到位置B所需的時間為$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． A、B 的運行速度都小于第一宇宙速度，C的運行速度大于第一宇宙速度

Answer 1

分析 根據開普勒第三定律分析衛星的周期關系，從而判斷角速度的關系．由萬有引力提供向心力，以及黃金代換式GM=gR²，列式表示出衛星衛星“G₁”的角速度，從而求得衛星“G₁”由位置A運動到位置B所需的時間．根據軌道半徑的關系，分析衛星的速度與第一宇宙速度關系．

解答 解：A、根據開普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k知，衛星的軌道半徑越大，周期越大，所以A 的周期大于 C 的周期，故A正確．
B、同理可知，B的周期大于C的周期，由T=$\frac{2π}{ω}$知，B的角速度小于C的角速度．故B錯誤．
C、對于衛星“G₁”，根據萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r，又GM=gR²．得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，所以衛星“G₁”由位置A運動到位置B所需的時間 t=$\frac{\frac{π}{3}}{ω}$=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$．故C正確．
D、第一宇宙速度是衛星繞地球圓周運動的最大運行速度，所以三顆衛星的運行速度都小于第一宇宙速度，故D錯誤．
故選：AC

點評 解決本題的關鍵掌握開普勒第三定律和衛星問題的基本思路：萬有引力等于向心力，萬有引力等于重力．