Question

如圖所示，電阻均為R的金屬棒a、b，a棒的質量為m，b棒的質量為M，放在如圖所示光滑的軌道的水平部分，水平部分有如圖所示豎直向下的勻強磁場，圓弧部分無磁場，且軌道足夠長；開始給a棒一水平向左的初速度v₀，金屬棒a、b與軌道始終接觸良好．且a棒與b棒始終不相碰．請問：
（1）當a、b在水平部分穩定后，速度分別為多少？損失的機械能多少？
（2）設b棒在水平部分穩定后，沖上圓弧軌道，返回到水平軌道前，a棒已靜止在水平軌道上，且b棒與a棒不相碰，然后達到新的穩定狀態，最后a，b的末速度為多少？
（3）整個過程中產生的內能是多少？

Answer 1

分析：（1）由于軌道是光滑的，金屬棒a、b運動的過程中，系統動量守恒；
（2）由于b棒在沖上又返回過程中，機械能守恒，返回時速度大小不變，b棒與a棒向右運動過程中，直到穩定，系統動量守恒；
（3）全過程中沒有摩擦力的作用，由能量守恒可知，整個過程中產生的內能等于系統機械能的減少量．

解答：解：（1）對a、b棒在水平軌道分析，系統動量守恒；
設v₁是穩定時a、b棒共同速度，
mv₀=（m+M）v₁　　　　          
v₁=

mv0

m+M

　　　　         
損失的機械能為△E
△E=

1

2

mv₀²-

1

2

（m+M）v₁²=

M mv 2 0

2(m+M)

                      
（2）由于b棒在沖上又返回過程中，機械能守恒，返回時速度大小不變
   v₂=v₁                          
b棒與a棒向右運動過程中，直到穩定，系統動量守恒
Mv₂=（m+M）v₃　　　　　　　　　 
達到新的穩定狀態a，b的末速度：
　v₃=

Mmv0

(M+m)2

　　　　　　　　
（3）整個過程中產生的內能等于系統機械能的減少量
Q=

1

2

mv₀²-

1

2

（m+M）v₃²=

1

2

mv₀²（1-

M2m

(M+m)3

）　　　　　
答：（1）當a、b在水平部分穩定后，速度

mv0

m+M

，損失的機械能是

M mv 2 0

2(m+M)

，
（2）最后a，b的末速度為

Mmv0

(M+m)2

，
（3）整個過程中產生的內能是

1

2

mv₀²（1-

M2m

(M+m)3

）．

點評：本題很好的考查了機械能守恒、動量守恒和能量守恒定律，把力學和電磁場有機的結合了起來，考查了學生的分析能力，是個好題．