Question

10．如圖xOy坐標系，第一象限有一對電壓為U₁=3×10⁴V的平行金屬板，板間距離和板長均為L=40cm，板的右側有一粒子接收器屏，下極板剛好在x軸上且帶正電，第二象限有一半徑為R=20cm的圓形勻強磁場，分別與x軸y軸在C點和D點相切，磁感應強度B=0.1T 方向垂直直面向外，第三象限有一個半圓形帶正電的電極AO，圓心在C點，在其內部存在由電極指向圓心C點的電場，電極與C點的
電勢差為U₂=1×10⁴V．現有許多m=6.4×10^-27  kg、q=+3.2×10^-19C的粒子在圓形電極處靜止釋放．不考慮各場之間的影響和粒子之間的相互作用．求：
（1）粒子在C點的速度；
（2）粒子擊中y軸的范圍；
（3）粒子接收屏接收到的粒子數和進入平行板總粒子數的比值K．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出粒子經輔向電場加速后的速度．
（2）先求得粒子在圓形磁場區域做勻速圓周運動的半徑，恰與圓形區域的半徑相等．而后取某一粒子以任意方向從C點進入圓形磁場，設圓形邊界的某點射出，那么兩圓心與兩交點構成菱形，可以證明粒子均水平射出磁場，從而打在y軸的范圍就是直徑．
（3）由于能打在打到接收屏上，所以穿過平行板的時間就能求出，那么在該時間內粒子向上做勻加速位移就能求出，從而知道在y軸上哪些范圍內出發的粒子能穿出就能求出，從而求出粒子接收屏接收到的粒子數和進入平行板總粒子數的比值．

解答 解：（1）電場力做正功，由動能定理得：$q{U}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
   v=1×10⁶m/s
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動
  根據：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$  得 $r=\frac{mv}{qB}=0.2m=R$
   取一粒子速度如圖所示，從E點離開，圓周運動的圓心為O₂，連接CO₁，EO₁，
   因為CO₁=EO₁=CO₂=EO₂=R，
   所以四邊形CO₁EO₂是一個菱形，
   因而EO₂平行于CO₁
   所以E點速度方向水平向右
   由此可見所有粒子水平向右離開磁場
   所以y軸擊中范圍0--40cm
（3）粒子水平向右進入電容器，做類平拋運動
   若打到接收屏，則$t=\frac{L}{v}=4×1{0}^{-7}s$
   豎直位移$h=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{{U}_{1}q}{Lm}×{t}^{2}=0.3m$
  由于平行板電場方向向上，粒子向上偏轉，所以從y軸0--10cm進入的粒子能打到接收屏，因此比值K=$\frac{1}{4}$．
答：（1）粒子在C點的速度為1×10⁶m/s．
（2）粒子擊中y軸的范圍是y軸上從0--40cm處．
（3）粒子接收屏接收到的粒子數和進入平行板總粒子數的比值K為$\frac{1}{4}$．

點評 本題的靚點在于：一是輔向電場使粒子均能從C點進入圓形磁場，只是速度大小相同但方向不同；二是可以證明：不同方向進入圓形磁場的粒子經磁場偏轉后均水平射出；三是粒子接收屏接收到的粒子數和進入平行板總粒子數的比值轉化為能射出平行板的豎直位移與射向y軸的長度之比．