Question

18．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸負方向的勻強電場，電場強度未知，第Ⅳ象限存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經x軸上的N點與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，最后恰好能從y軸負半軸上的某點P射出磁場（P點圖中未知），不計粒子重力，求
（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（2）粒子從M點運動到P點的總時間t；
（3）電場強度的大小．

Answer 1

分析 （1）求出粒子進入磁場時的速度，粒子在磁場中做勻速圓周運動洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑．
（2）求出粒子在電場與磁場中的運動時間，然后求出粒子總的運動時間．
（3）粒子在電場中做類平拋運動，在豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，應用勻變速直線運動的速度公式與牛頓第二定律可以求出電場強度．

解答 解：（1）粒子經過N點時的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀，
粒子在磁場中做勻速圓周運動洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子恰好能從y軸負半軸上的某點P射出磁場，
則粒子運動軌跡與y軸相切，粒子運動軌跡如圖所示，
由幾何知識得：ON=r+rsinθ，
粒子在電場中做類平拋運動：ON=v₀t₁，解得：t₁=$\frac{（2+\sqrt{3}）m}{qB}$，
粒子在磁場中做圓周運動轉過的圓心角：α=360°-60°-90°=210°，
粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場中的運動時間：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{7πm}{6qB}$，
粒子從M點運動到P點的總時間：t=t₁+t₂=（2+$\sqrt{3}$+$\frac{7π}{6}$）$\frac{m}{qB}$；
（3）粒子在電場中做類平拋運動，
豎直分速度：v_y=v₀tan60°=$\frac{qE}{m}$t₁，解得：E=（2$\sqrt{3}$-3）v₀B；
答：（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑r為$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子從M點運動到P點的總時間t為（2+$\sqrt{3}$+$\frac{7π}{6}$）$\frac{m}{qB}$；
（3）電場強度的大小為（2$\sqrt{3}$-3）v₀B．

點評 粒子在電場中運動偏轉時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．