Question

1932年Earnest O．Lawrence提出回旋加速器的理論，1932年首次研制成功．它的主要結構是在磁極間的真空室內(nèi)有兩個半圓形半徑為R的金屬扁盒（D形盒）隔開相對放置，D形盒上加交變電壓，其間隙處產(chǎn)生交變電場．置于中心A處的粒子源產(chǎn)生帶電粒子射出來（帶電粒子的初速度忽略不計），受到兩盒間的電場加速，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計．在D形盒內(nèi)不受電場，僅受磁極間磁感應強度為B的勻強磁場的洛倫茲力，在垂直磁場平面內(nèi)作圓周運動．粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q，在加速器中被加速，加速電壓為U，加速過程中不考慮相對論效應和重力作用．回旋加速器的工作原理如圖．求：
（1）粒子第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后的軌道半徑之比r₂：r₁；?
（2）粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t．?
（3）實際使用中，磁感應強度和加速電場頻率都有最大值的限制．若某一加速器磁感應強度和加速電場頻率的最大值分別為B_m、f_m，試討論粒子能獲得的最大動能E_km．

Answer 1

（1）設粒子第1次經(jīng)過狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁，則：
Uq=

1

2

m

v

21

進入磁場，粒子在運動過程中有：Bqv₁=m

v 21

r  1

解得：r1=

1

B

2mU q

同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑：r2=

1

B

4mU q

解得：

r2

r1

=

2

1

（2）設粒子共加速了n圈，則2nqU=

1

2

mv2
洛倫茲力提供向心力，則Bqv=m

v2

r

粒子運動的周期為：T=

2πm

qB

時間與周期的關系：t=nT
解得：t=

πBR2

2U

（3）加速電場的頻率應該等于粒子在磁場中做圓周運動的頻率，即：f=

Bq

2πm

當磁感應強度為B_n時，加速電場的頻率應該為：fBm=

Bnq

2πm

粒子的動能：Ek=

1

2

mv2
當f_Bm≤f_m時，粒子的最大動能由B_m決定，則：Bqvm=m

v2

r

解得：Ekm=

q2 B 2m r2

2m

當f_Bm≥f_m時，粒子的最大動能由f_m決定，則：vm=2π

f

2m

R2
解得：Ekm=2π2m

f

2m

R2
答：（1）粒子第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后的軌道半徑之比為

2

：1；?
（2）粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t為

πBR2

2U

；?
（3）當f_Bm≤f_m時，粒子的最大動能為

q2 B 2m r2

2m

；當f_Bm≥f_m時，粒子的最大動能2π2m

f

2m

R2．