Question

在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓形區(qū)域，AB、CD分別為水平、豎直的兩個(gè)直徑，BM、MN、ND三段弧長(zhǎng)相等．有一個(gè)長(zhǎng)度為四分之一圓的豎直圓弧軌道，半徑也是R，圓心在C點(diǎn)，軌道下端在O點(diǎn)與AB相切．
（1）一小滑塊從軌道上端P點(diǎn)由靜止滑下，若摩擦力的平均值為滑塊重力的K倍，重力加速度大小為g，求滑塊從O點(diǎn)滑出時(shí)的速度大小．
（2）若不計(jì)摩擦，滑塊仍由靜止從軌道上釋放，要求滑塊離開O點(diǎn)后能落到在圓的MN圓弧上（包括M、N兩點(diǎn)），求釋放的位置距圓心O的豎直高度．（要求結(jié)果用R表示）

Answer 1

分析：（1）小滑塊由P到O的過程中，重力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊從O點(diǎn)滑出時(shí)的速度大小．
（2）若不計(jì)摩擦，滑塊仍由靜止從軌道上釋放，滑塊的機(jī)械能守恒，即可求出釋放的位置距圓心O的豎直高度與滑塊到O點(diǎn)的速度關(guān)系，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平和豎直方向分位移與初速度的關(guān)系．如圖，三段弧對(duì)的圓心角都是30°，為落在MN上，豎直位移應(yīng)y=Rcos30°≤y≤Rsin30°，聯(lián)立解得高度．

解答：解：（1）滑塊由P到O的過程，由動(dòng)能定理得：mgR-kmg

πR

2

=

1

2

mv2      
得：v=

(2-kπ)gR

                
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒得：mgh=

1

2

m

v

2 0

                      
從O點(diǎn)平拋后：
  水平方向 x=v₀t                        
  豎直方向 y=

1

2

gt2                          
得：v0=x

g 2y

                                  
如圖，三段弧對(duì)的圓心角都是30°，為落在MN上，
當(dāng)y=Rcos30°=

3

2

R時(shí)，有x≥Rsin30°=

R

2

       
當(dāng)y=Rsin30°=

R

2

時(shí)，有 x≤Rcos30°=

3

2

R      
由以上得：

3 R

24

≤h≤

3

8

h                            
答：
（1）滑塊從O點(diǎn)滑出時(shí)的速度大小是x

g 2y

．
（2）釋放的位置距圓心O的豎直高度是

3 R

24

≤h≤

3

8

h．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是確定平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移和水平位移的范圍，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析．