Question

（2009?安慶三模）在豎直平面內有一半徑為R的光滑圓環軌道，一質量為m的小球穿在圓環軌道上做圓周運動，到達最高點C時的速率v_c=

4gR 5

，則下述不正確的是（　　）

• A．此球的最大速率是

  6

  v_c
• B．小球在任一直徑兩端點上的動能之和相等
• C．小球到達C點時對軌道的壓力是

  4mg

  5

• D．小球沿圓軌道繞行一周所用的時間小于π

  5R g

Answer 1

分析：因為圓環軌道是光滑的，只有重力做功，所以機械能守恒，可以求得在最低點時的最大速度；
對物體受力分析，根據圓周運動的向心力公式可以求得對軌道的作用力，由周期公式可以知道物體運動的周期．

解答：解：A、速度最大的點應該是最低點時，根據機械能守恒得：

1

2

mv2-

1

2

mvc²=2mgR，解得最大速率為：v=

24gR 5

=

6

v_c，故A正確．
B、整個過程中機械能守恒，在任一直徑兩端點上的點，它們的高度之和都是2R，即它們的重力勢能的和相等，由于總的機械能守恒，所以它們的動能之和也相等，故B正確．
C、在C點有：mg-N=m

v 2 C

R

，得：N=

1

5

mg，小球到達C點時對軌道的壓力為：N′=N=

1

5

mg，故C錯誤．
D、由周期T=

2πR

v

，當圓環以速度最小v_c=

4gR 5

做勻速圓周運動時周期最小，v_c=

4gR 5

代入T=

2πR

v

，計算可得T=π

5R g

，由于小球離開最高點后速度在變大，所以T要減小，所以T＜T=π

5R g

，故D正確．
本題選錯誤的，故選：C．

點評：小球穿在圓環軌道上做圓周運動，屬于桿的模型，在最高點時速度最小，向心力最小，最低點時速度最大，向心力最大，由機械能守恒可以求它們之間的關系．