Question

17．由三顆星體構成的系統，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，圍繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內做相同角速度的圓周運動，若A星體質量為2m，B、C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a，求：
（1）C星體的軌道半徑R
（2）三個星體做圓周運動的周期T．

Answer 1

分析 （1）C與B的質量相等，所以運行的規律也相等，然后結合向心力的公式即可求出C的軌道半徑；
（2）三星體做圓周運動的周期T相等，寫出C的向心加速度表達式即可求出．

解答 解：（1）由萬有引力定律，A星受到B、C的引力的大�。篎_BA=F_CA=$\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如圖，
B星受到的引力分別為：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G•{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如圖；

沿x方向：F_Bx=F_ABcos60°+F_CB=$\frac{2G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
沿y方向：F_By=F_ABsin60°=$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
可得${F}_{B}=\sqrt{{{F}_{Bx}}^{2}+{{F}_{By}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
通過對于B的受力分析可知，由于：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，合力的方向經過BC的中垂線AD的中點，所以圓心O一定在BC的中垂線AD的中點處．所以：
${R}_{C}={R}_{B}=\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}a$．
（2）對C星：${F}_{C}={F}_{B}=\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m{R}_{C}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得T=$π\sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$．
答：（1）C星體的軌道半徑R為$\frac{\sqrt{7}}{4}a$；
（2）三個星體做圓周運動的周期T為$π\sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$．

點評 該題借助于三星模型考查萬有引力定律，其中B與C的質量相等，則運行的規律、運動的半徑是相等的．結合萬有引力定律和幾何關系綜合求解．