Question

1．如圖所示，有一固定的且內壁光滑的半球面，球心為O，最低點為C，有兩個可視為質點且質量相同的小球A和B，在球面內壁兩個高度不同的水平面內做勻速圓周運動，A球的軌跡平面高于B球的軌跡平面，A、B兩球與O點的連線與豎直線OC間的夾角分別為a=53°和β=37°，則（sin37°=0.6）（　　）

• A． A、B兩球所受支持力的大小之比為3：4
• B． A、B兩球運動的周期之比為2：$\sqrt{3}$
• C． A、B兩球的角速度之比為2：$\sqrt{3}$
• D． A、B兩球的線速度之比為8：3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠兩個力的合力提供向心力，根據平行四邊形定則求出支持力之比，根據牛頓第二定律求出周期、線速度、角速度之比．

解答 解：A、由于小球在運動的過程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根據平行四邊形定則得，N=$\frac{mg}{cosθ}$，則$\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}=\frac{cos37°}{cos53°}=\frac{4}{3}$．故A錯誤．
B、小球受到的合外力：mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}cosθ}{g}}$，則$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．故B錯誤．
C、根據公式：mgtanθ=mω²r，所以：$ω=\sqrt{\frac{gtanθ}{r}}$，所以：$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$．故C正確．
根D、據mgtanθ=$\frac{m{v}^{2}}{r}$得：$v=\sqrt{grcosθ}$所以：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{8}{3\sqrt{3}}$．故D正確；
故選：CD

點評 解決本題的關鍵搞清向心力的來源，運用牛頓第二定律得出線速度、周期的關系．同時注意能量關系．