Question

如圖是半徑為R=0.5m的光滑圓弧形軌道，直徑AC水平，直徑CD豎直．今有質量為m=1kg的小球a從A處以初速度v₀=3

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m/s沿圓弧運動，與靜止在圓弧底端B處直徑相同的小球b發生碰撞．則（g=10m/s²）
（1）小球a在A處對軌道的壓力多大？（結果保留兩位有效數字）
（2）若小球b質量也為m，且a、b發生彈性碰撞，則碰后小球b的速度多大？
（3）若小球b質量為km（k＞0），且a、b碰后粘在一起，欲使ab不脫離軌道求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）小球a做圓周運動，在A處由軌道的支持力提供向心力，由牛頓第二定律求出支持力，即可由牛頓第三定律求得小球a對軌道的壓力；
（2）小球a由A到B過程中機械能守恒，求出a球與b球碰撞前的速度，a、b發生彈性碰撞，系統的動量和機械能均守恒，由兩大守恒定律列式求解碰后小球b的速度；
（3）要使ab不脫離軌道，共同體在AC間運動，或在D點時，ab所需要的向心力應大于總重力，由動量守恒、ab向最高點運動過程機械能守恒和牛頓第二定律聯合求解k的范圍．

解答：解：（1）設小球a在A點受到的支持力為F_N，則
   F_N=m

v 2 0

R

代入數據解得F_N=108N
由牛頓第三定律可知小球a對軌道的壓力等于F_N即108N．
（2）小球a由A到B過程中機械能守恒，設小球a到達B點的速度為v，則
  mgR=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

代入數據可解得 v=8m/s
碰撞過程a、b組成的系統動量守恒、機械能守恒，設碰后a、b球速度分別為v_a、v_b 則
  mv=mv_a+mv_b
 

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 a

+

1

2

m

v

2 b

由以上三式可解得  v_a=0，v_b=v； v_a=v，v_b=0（不合舍去）
故碰后b球速度為v_b=8m/s
（3）設碰后ab的速度為v_ab，到達D點的速度為V，則
   mv=（km+m）V   

1

2

(km+m)

v

2 ab

≤（km+m）gR   
或

1

2

(km+m)

v

2 ab

=

1

2

(km+m)V2+（km+m）?2R  ③
（km+m）

V2

R

≥（km+m）g   ④
由①②解得k≥

32 5

-1
由①③④解得k≤0.6
故欲使ab不脫離軌道須k≥

32 5

-1或k≤0.6
答：（1）小球a在A處對軌道的壓力是108N．
（2）若小球b質量也為m，且a、b發生彈性碰撞，則碰后小球b的速度是8m/s．
（3）若小球b質量為km（k＞0），且a、b碰后粘在一起，欲使ab不脫離軌道求k的取值范圍是k≥

32 5

-1或k≤0.6．

點評：本題是機械能守恒定律、牛頓第二定律和動量守恒定律的綜合應用，關鍵是分析要使ab不脫離軌道的條件．