Question

6．如圖所示，在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中，兩根足夠長的平行光滑金屬軌道cd、ef固定在水平面內，相距為L，軌道左端c、e間連接一阻值為R的電阻．將一質量為m的導體棒ab垂直于cd、ef放在軌道上，與軌道接觸良好．軌道和導體棒的電阻均不計．
（1）導體棒ab沿軌道以速度v向右做勻速運動．t=0時，磁感應強度為B₀，此時ab到達的位置恰好使cabe構成一個邊長為L的正方形．為使閉合電路中不產生感應電流，求從t=0開始，磁感應強度B隨時間t變化的關系式．
（2）如果勻強磁場的磁感應強度B保持不變，為使導體棒ab沿軌道以速度v向右做勻速運動，需對導體棒ab施加一個水平向右的外力F．
a．求外力F的大��；
b．通過公式推導驗證：在△t時間內，外力F對導體棒ab所做的功W等于電路獲得的電能E_電，也等于電阻R中產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）要使閉合電路中不產生感應電流，穿過閉合電路的磁通量應保持不變，根據法拉第電磁感應定律列方程求解；
（2）a．根據閉合電路的歐姆定律、安培力的計算公式以及共點力的平衡條件列方程求解；
b．在△t時間內，外力F對ab所做的功W=Fv△t=BILv△t，再根據焦耳定律結合閉合電路的歐姆定律推導產生的電能．

解答 解：（1）要使閉合電路中不產生感應電流，穿過閉合電路的磁通量應保持不變．
t=0時，穿過閉合電路的磁通量
Φ=B₀L²
設t時刻勻強磁場的磁感應強度為B，此時的磁通量為：
Φ=BL（L+vt）
則  B₀L²=BL（L+vt）
得 $B=\frac{{B}_{0}L}{L+vt}$；
（2）a．導體棒ab中的感應電流為：$I=\frac{BLv}{R}$  
導體棒ab所受的安培力為：F_安=BIL  
導體棒ab勻速運動，水平外力為：F=F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；
b．導體棒ab勻速運動，有：F=F_安=BIL；
在△t時間內，外力F對ab所做的功為：W=Fv△t=BILv△t，
電動勢為：E=BLv  
電路獲得的電能為：E_電=qE=EI△t=BILv△t 
電阻R中產生的焦耳熱為：Q=I2R△t=IR-I△t=BLv-I△t 
可見，外力F對導體棒ab所做的功W等于電路獲得的電能E_電，也等于電阻R中產生的焦耳熱Q．
答：（1）磁感應強度B隨時間t變化的關系式為$B=\frac{{B}_{0}L}{L+vt}$．
（2）a．求外力F的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；
b．證明見解析．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力；另一條是能量，分析能量如何轉化是關鍵．