Question

6．如圖所示，長為L的輕繩上端系于A點，在輕繩的下端吊一個質量為m的鐵球（可視作質點），A點離地面的高度為2L、離墻壁的距離為L，A點的正下方P點處有一固定鐵釘．現將球拉至與A等高的位置（輕繩處于水平拉直狀態）釋放．當地的重力加速度為g，不計空氣阻力．
（1）若已知小球擺至最低點，輕繩被鐵釘擋住前瞬間，繩子的拉力大小為3mg，則小球此時的速度為多大？
（2）若輕繩能承受的最大拉力為9mg，輕繩被擋住后瞬間恰好被拉斷，則鐵釘離A點的距離為多少？
（3）輕繩斷裂后，小球在以后的運動過程中第一次碰撞點離墻角B點的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）根據向心力公式求出小球到達最低點時的速度；
（2）根據向心力公式求出小球到釘子的距離，即可求出鐵釘離A點的距離；
（3）根據平拋運動的規律求出小球的下落高度，即可求出第一次碰撞點離墻角B點的距離

解答 解：（1）小球擺至最低點，輕繩被鐵釘擋住前瞬間，設速度為v
根據向心力公式，有：$F-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{L}$
代入數值：$3mg-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{L}$
解得：$v=\sqrt{2gL}$
（2）小球被釘子擋住后瞬間，根據牛頓第二定律和圓周運動的向心力公式，有：
F′-mg=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r′}$
代入數據：$9mg-mg=m\frac{2gL}{r′}$
解得：$r′=\frac{L}{4}$
鐵釘離A點的距離為$L-r′=L-\frac{L}{4}=\frac{3}{4}L$
（3）細繩斷裂后，小球做平拋運動．假設小球直接落到地面上，則：
h=L=$\frac{1}{2}$gt²　
球的水平位移x=vt=2L＞L
故實際上小球應先碰到右墻，則L=vt'
小球下落的高度h'=$\frac{1}{2}$gt'²=$\frac{1}{4}L$
所以球的第一次碰撞點距墻角B點的距離為：H=L-h′=$\frac{3}{4}L$　
答：（1）若已知小球擺至最低點，輕繩被鐵釘擋住前瞬間，繩子的拉力大小為3mg，則小球此時的速度為$\sqrt{2gL}$
（2）若輕繩能承受的最大拉力為9mg，輕繩被擋住后瞬間恰好被拉斷，則鐵釘離A點的距離為$\frac{3}{4}L$
（3）輕繩斷裂后，小球在以后的運動過程中第一次碰撞點離墻角B點的距離是$\frac{3}{4}L$

點評 本題考查了平拋運動和圓周運動的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律和圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．