Question

10．如圖所示，在xOy平面上的某圓形區域內，存在一垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強大小為B．一電荷量為+q、質量為m的帶電粒子，由原點O開始沿x正方向運動，進入該磁場區域后又射出該磁場．后來，粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，已知P到O的距離為L，不計重力的影響．
（1）若磁場區域的大小可根據需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；
（2）若粒子速度大小為v=$\frac{qBL}{6m}$，試求該圓形磁場區域的最小面積．

Answer 1

分析 初、末速度所在直線必定與粒子的軌跡圓相切，軌跡圓圓心到兩條直線的距離（即軌道半徑）相等，因此，圓心必位于初、末速度延長線形成的角平分線QC上（如圖甲）；在角平分線QC上取不同的點為圓心，由小到大作出一系列軌跡圓（如圖乙），其中以C點為圓心軌跡①是可能的軌跡圓中半徑最大的，其對應的粒子速度也最大；

解答 解：（1）過P點作末速度所在直線，交x軸與Q點，經分析可知，粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡的圓心必在∠OPQ的角平分線QC上，如圖甲所示，

設粒子在磁場中作勻速圓周運動的軌道半徑為r，則由牛頓第二定律有
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
則$r=\frac{mv}{qB}$…①
由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度最大的粒子在磁場中運動軌跡的圓心是y軸上的C點．如圖丙所示，

速度最大時粒子的軌跡圓過O點，且與PQ相切與A點．
由幾何關系有OQ=Ltan30°          ${r}_{1}^{\;}=OQtan30°$
可得${r}_{1}^{\;}=\frac{L}{3}$…②
由①②求得：$v=\frac{qBL}{3m}$
（2）將$v=\frac{qBL}{6m}$代入①式，可得${r}_{2}^{\;}=\frac{L}{6}$，粒子運動軌跡是如圖丁所示的軌跡圓②，

該軌跡圓與x軸相切于D點，與PQ相切于E點，連接DE，由幾何關系可知：
$DE=\sqrt{3}{r}_{2}^{\;}$
由于D、E點必在磁場內，故可知磁場面積最小時必定是以DE為直徑（如圖丁中③所示），即面積最小的磁場半徑為：
$R=\frac{1}{2}DE$
則磁場的最小面積為：$s=π{R}_{\;}^{2}=π（\frac{\sqrt{3}}{12}L）_{\;}^{2}=\frac{π{L}_{\;}^{2}}{48}$
答：（1）若磁場區域的大小可根據需要而改變，粒子速度的最大可能值$\frac{qBL}{3m}$；
（2）若粒子速度大小為v=$\frac{qBL}{6m}$，該圓形磁場區域的最小面積$\frac{π{L}_{\;}^{2}}{48}$

點評 本題考查了帶電粒子在磁場中的勻速圓周運動，對數學的幾何能力要求較高，關鍵畫出粒子的軌跡圖，結合牛頓第二定律以及向心力等知識進行求解．